第二十八讲、变系数二阶线性齐次微分方程：比 较定理 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张样：上海交通大学数学系 第二十八讲、变系数三阶线性齐欢微分方程：比较定理
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本讲教学目的与目标 ·变系数二阶线性齐次微分方程解的零点的性质 设问：研究解的零点的实际意义是什么？ 。该问题在振动的研究方面经常遇到. 口8+4二·4生￥2)风 张样：上涛交通大学数学系 第二十八讲、变系数二疏线性齐次微分方程：比较定理
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考虑变系数二阶线性齐次微分方程 y”+pxy+qy=0, (1) 其中p(x),q(x)在开区间J=(a,b)CR上连续 回顾与导引： ·二阶线性齐次微分方程解之间的关系？ 线性相关与无关 ●二阶线性齐次微分方程解的零点的性质：方程(1)的任一解 。(x)在J的任一闭子区间上至多有有限个零点， 。(x)在其零点x和有'()≠0. ●大胆设想：它们之间还可能有什么进一步的关系？ 这些设想都是科学研究所必备的！ 张样：上海交通大学数学系 第二十八讲、变系数三阶线性齐次微分方程：比较定理
ƒCXÍ Ç5‡gá©êß y 00 +p(x)y 0 +q(x)y = 0, (1) Ÿ• p(x), q(x) 3m´m J = (a,b) ⊂ R ˛ÎY. £Ü⁄µ Ç5‡gá©êß)Ém'Xº Ç5É'ÜÃ' Ç5‡gá©êß)":5ü: êß (1) ?ò) φ(x) 3 J ?ò4f´m˛ñıkkÅá":, φ(x) 3Ÿ": x0 k φ 0 (x0) 6= 0. åˇéµßÇÉmÑåUküo?ò⁄'Xº ˘ é—¥âÆÔƒ§7ú ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!CXÍ Ç5‡gá©êß: '½n
二阶线性齐次微分方程：解的零点之间的关系 定义：称x1,2∈J是函数p(x)的两个相邻的零点，如果x1,2都 是(x)的零点，且在x1与2之间没有p(x)的其它的零点. 先看个特例：二阶常系数线性微分方程 y"+w2y=0 有通解 y=ci cos(@x)+c2sin(@x). 它的两个线性无关的解 y1=cos(@x), y2 sin(ox), 的零点之间的关系如何？ 张样：上海交通大学数学系 第二十八讲、变系数二阶线性齐次微分方程：比较定理
Ç5‡gá©êß: )":Ém'X ½¬: ° x1, x2 ∈ J ¥ºÍ φ(x) ¸áÉ":, XJ x1, x2 — ¥ φ(x) ":, Ö3 x1 Ü x2 Émvk φ(x) Ÿß":. kwáA~µ ~XÍÇ5á©êß y 00 +ω 2 y = 0 kœ) y = c1 cos(ωx) +c2 sin(ωx). ߸áÇ5Ã') y1 = cos(ωx), y2 = sin(ωx), ":Ém'XX¤? ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!CXÍ Ç5‡gá©êß: '½n
命题54 设y=1(x)和y=2(x)是方程(1)的两个非零解，且都至少有一 个零点.则下列结论成立 (a)y=(x)与y=2(x)在J上线性无关当且仅当它们的零点 相互交错. (b)y=1(x)与y=2(x)在J上线性相关当且仅当它们有相同 的零点 证明分析： 。解的线性相关、线性无关有哪些判定？ 。要证明一个解的两个相邻零点之间有另一个解的零点，问证 明函数的零点存在有何结论？ 。按照分析的思路，如何去实现上述想法？ 张样：上海交通大学数学系第二十八讲、变系数亡流线性济次微分方程：比较定理
·K 54 y = φ1(x) ⁄ y = φ2(x) ¥êß (1) ¸áö"), Ö—ñkò á":. Ke(ÿ§·. (a) y = φ1(x) Ü y = φ2(x) 3 J ˛Ç5Ã'Ö=ßÇ": ÉpÜ. (b) y = φ1(x) Ü y = φ2(x) 3 J ˛Ç5É'Ö=ßÇkÉ” ":. y²©¤µ )Ç5É'!Ç5Ã'k= ½º áy²òá)¸áÉ":Émk,òá)":, Øy ²ºÍ":3k¤(ÿ? UÏ©¤g¥ßX¤¢y˛„é{? ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!CXÍ Ç5‡gá©êß: '½n