第十七讲、可积理论在偏微分方程求解中的应 用 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用
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本讲教学目的与目标 ●线性和拟线性偏微分方程的求解. 温故： ·微分方程组函数无关的首次积分的个数； 。首次积分之间的关系： ·函数独立的首次积分与方程组的解之间的关系. 口8+4二·生￥2)风 张样：上涛交通大学数学系 第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用
˘Æ8Ü8I Ç5⁄[Ç5†á©ê߶). ßµ á©êß|ºÍÃ'ƒg»©áÍ; ƒg»©Ém'X¶ ºÍ’·ƒg»©Üêß|)Ém'X. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘‘å»nÿ3†á©ê߶)•A^
本讲主要阐述如下两类偏微分方程： 。一阶齐次线性偏微分方程： Du 0 x=(x1,.,xn)∈DCR”开区域，(1) ●一阶拟线性偏微分方程 a ∂u =b(x,0, (x,w)∈GCR+1开区域，(2) i=1 的求解问题. 分析与探讨：如何将常微分方程组的首次积分存在性理论运用 到上述偏微分方程组的求解问题. 张样：上海交通大学数学系 第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用
˘Ãá„Xe¸a†á©êßµ ò ‡gÇ5†á©êßµ n ∑ i=1 ai(x) ∂u ∂ xi = 0, x = (x1,..., xn) ∈ D ⊂ R n m´ç, (1) ò [Ç5†á©êß n ∑ i=1 ai(x,u) ∂u ∂ xi = b(x,u), (x,u) ∈ G ⊂ R n+1 m´ç, (2) ¶)ØK. ©¤Ü&?: X¤Ú~á©êß|ƒg»©35nÿ$^ ˛„†á©êß|¶)ØK. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘‘å»nÿ3†á©ê߶)•A^
1.一阶齐次线性偏微分方程(1)解的理论 偏微分方程(1)对应的特征方程是 dxi =…= dxn (3) al an 为保证解的存在唯一性，假设 a1,..,an∈C(D),且 1ax>0, (4) 则(3)是n-1阶常微分方程组. 例如，当an(x)≠0时，(3)可以写成 dxi ai(x) dxn an(x) i=1,.,n-1. 从而，方程组(3)从D中任一点出发的解都存在唯一： 局部地有n一1个函数独立的首次积分.：···三pa。 张样：上海交通大学数学系 第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用
1. ò ‡gÇ5†á©êß (1) )nÿ †á©êß (1) ÈAAêߥ dx1 a1 = ... = dxn an . (3) èy)3çò5ßb a1,...,an ∈ C 1 (D), Ö n ∑ i=1 |ai(x)| > 0, x ∈ D. (4) K (3) ¥ n−1 ~á©êß|. ~Xß an(x) 6= 0 û, (3) 屧 dxi dxn = ai(x) an(x) , i = 1,...,n−1. l , êß| (3) l D •?ò:—u)—3çò¶ ¤‹/k n−1 áºÍ’·ƒg»©. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘‘å»nÿ3†á©ê߶)•A^
定理34 假设(3)满足(4)，且在D中有n-1个函数独立的首次积分 1(x)=c1,·,m-1(x)=cn-1 则一阶线性偏微分方程(1)的通解为 u=Ψp1(x),.,pm-1()月 其中(，…，)是任意的n-1元连续可微的函数。 证 由已知条件，不妨设an≠0.则特征方程(3)等价于常微分方程组 dxi ai(x) i=1,.,n-1. (5) dxn an(x) 口⑧中之”主4 2 张样：上海交通大学数学系 第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用
½n 34 b (3) ˜v (4), Ö3 D •k n−1 áºÍ’·ƒg»© φ1(x) = c1, ..., φn−1(x) = cn−1. Kò Ç5†á©êß (1) œ)è u = Ψ(φ1(x),...,φn−1(x)), Ÿ• Ψ(·,...,·) ¥?ø n−1 ÎYåáºÍ. y: dÆ^á, ÿî an 6= 0. KAêß (3) du~á©êß| dxi dxn = ai(x) an(x) , i = 1,...,n−1. (5) ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘‘å»nÿ3†á©ê߶)•A^