第二十三讲、常系数线性齐次微分方程组 基解矩阵的特征值与特征向量求法 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第二十三讲、基解矩阵的特征值与特征向量求法
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本讲教学目的与目标 。常系数线性齐次微分方程组基解矩阵的特征向量求法 回顾： 常系数线性齐次微分方程组的矩阵指数函数解的求法 探究： 能否有简洁的求法？ 口1艺”4主12月双 张样：上将交通大学数学系第二十三讲、基解矩阵的特征值与特征侧量求法
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为阐述新方法需要线性代数的下列结论 命题46 设21，.，乙是矩阵A的所有互不相同的特征值，它们的重数分 别为n1,,n且m十.十n=n.则 ·线性代数方程组 (A-1Er9=0 (1) 有m个线性无关的解，记为r,j=1,,n 0n个向量8…，0,8，鼎线性无关 n.0 口0·4之·4生+2刀a0四 张样：上涛交通大学数学系 第二十三讲、基解矩阵的特征值与特征向量求法
è„#ê{IáÇ5ìÍe(ÿ ·K 46 λ1,...,λs ¥› A §kpÿÉ”Aä, ßÇÍ© Oè n1,...,ns Ö n1 +...+ns = n. K Ç5ìÍêß| (A−λiE) nir (i) 0 = 0, (1) k ni áÇ5Ã'), Pè r (i) j0 , j = 1,...,ni ; n áï˛ r (1) 10 ,..., r (1) n10 ,..., r (s) 10 ,..., r (s) ns0 Ç5Ã'. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!ƒ)› AäÜAï˛¶{
基解矩阵的特征向量求法 定理47 设矩阵A有互不相同的特征值入1，，入.它们的重数分别为 1.,ns 且n+.+ns=n. 记 为线性齐次代数方程组(1)的；个线性无关解，i=1,,s. 则对于常系数线性齐次微分方程组 dy =Ay, d (2) 下列结论成立： 日+4艺”4主12月双0 张样：上将交通大学数学系第二十三讲、基解矩阵的特征值与特征侧量求法
ƒ)› Aï˛¶{ ½n 47 › A kpÿÉ”Aä λ1,...,λs . ßÇÍ©Oè n1,...,ns Ö n1 +...+ns = n. P r (i) 10,..., r (i) ni0 èÇ5‡gìÍêß| (1) ni áÇ5Ã'), i = 1,...,s. KÈu~XÍÇ5‡gá©êß| dy dx = Ay, (2) e(ÿ§·µ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!ƒ)› AäÜAï˛¶{
定理47（续） (@)如果s=m,则n=1,i=1,,n,8是的特征向量.矩阵 函数 Φe)=(e2r8,er8)） 是常系数线性齐次微分方程组(2)的基解矩阵； 口0·4之·4生+2刀a0四 张样：上海交通大学数学系 第二十三讲、基解矩阵的特征值与特征向量求法
½n 47 (Y) (a) XJ s = n, K ni = 1, i = 1,...,n, r (i) 10 ¥ λi Aï˛. › ºÍ Φ(x) = e λ1x r (1) 10 ,..., e λnx r (n) 10 , ¥~XÍÇ5‡gá©êß| (2) ƒ)› ; ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!ƒ)› AäÜAï˛¶{