第二十讲、线性齐次和非齐次微分方程组： 基本解组、通解和常数变易法 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法
1õ˘!Ç5‡g⁄ö‡gá©êß|: ƒ )|!œ)⁄~ÍC¥{ ‹ å xzhang@sjtu.edu.cn â¶ûmµ±n˛ 6:30–8:20 : â¶/:µP„÷,ÍÆ¢ 301 ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!Ç5á©êß|: ƒ )|!œ)⁄~ÍC¥{
本讲教学目的与目标 。线性齐次微分方程组基本解组的判定 ●求非齐次方程组通解的常数变易法 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上海交通大学数学系第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法
˘Æ8Ü8I Ç5‡gá©êß|ƒ )|½ ¶ö‡gêß|œ)~ÍC¥{ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!Ç5á©êß|: ƒ )|!œ)⁄~ÍC¥{
基本解组与Wronsky行列式 回顾：线性微分方程组解的存在区间、通解的结构 定理39确保了n阶齐次微分方程组 =Axy,A)∈CW) d x∈J (1) 有且仅有n个线性无关解. 定义：齐次微分方程组(1)的任意n个线性无关解称为它的一个 基本解组 间题：如何用简洁的方法判定齐次方程的个解是否线性无关？ 张样：上海交通大学数学系 第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法
ƒ )|ÜWronsky1™ £: Ç5á©êß|)3´m!œ)( ½n 39 ( n ‡gá©êß| dy dx = A(x)y, A(x) ∈ C(J), x ∈ J (1) kÖ=k n áÇ5Ã'). ½¬: ‡gá©êß| (1) ?ø n áÇ5Ã')°èßòá ƒ )|. ØKµX¤^{'ê{½‡gêß n á)¥ƒÇ5Ã'? ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!Ç5á©êß|: ƒ )|!œ)⁄~ÍC¥{
设 y1(x) yin(x) y1(x)= yn(x)= (2) yn1(x) ynn(x) 是(1)的n个解 。矩阵函数Y()=(01≤S称为方程组(1)的解矩阵。 ●如果y1(x),,ym(x)线性无关，称Y(x)为方程组(1)的基解 矩阵. ●解矩阵的行列式detY(x)称为解组(2)的Wronsky行列式. 日1艺”4主12月双0 张样：上将交通大学数学系第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法
y1(x) = y11(x) . . . yn1(x) , yn(x) = y1n(x) . . . ynn(x) , (2) ¥ (1) n á). › ºÍ Y(x) = (yij)1≤i,j≤n °èêß| (1) )› . XJ y1(x),...,yn(x) Ç5Ã', ° Y(x) èêß| (1) ƒ) › . )› 1™ detY(x) °è)| (2) Wronsky 1™. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!Ç5á©êß|: ƒ )|!œ)⁄~ÍC¥{
齐次方程组的解组线性无关的判定与性质 命题40 关于线性齐次微分方程组(1)的解组(2)，下列结论成立： (a)方程(1)的解组(2)线性无关当且仅当W(x)≠0，x∈J; (b)方程(1)的解组(2)线性相关当且仅当W(x)三0，x∈J. o Wronski determinant was introduced by Jozef Hoene-Wronski(1812) Jozef Hoene-Wronski(23 August 1776-9 August 1853) was a Polish philosopher who worked in many fields of knowledge,not only as philosopher but also as mathematician,physicist,inventor,lawyer,and economist. 张样：上海交通大学数学系 第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法
‡gêß|)|Ç5Ã'½Ü5ü ·K 40 'uÇ5‡gá©êß| (1) )| (2), e(ÿ§·: (a) êß (1) )| (2) Ç5Ã'Ö= W(x) 6= 0, x ∈ J; (b) êß (1) )| (2) Ç5É'Ö= W(x) ≡ 0, x ∈ J. Wronski determinant was introduced by J_zef Hoene-Wronski (1812) J_zef Hoene-Wronski (23 August 1776–9 August 1853) was a Polish philosopher who worked in many fields of knowledge, not only as philosopher but also as mathematician, physicist, inventor, lawyer, and economist. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!Ç5á©êß|: ƒ )|!œ)⁄~ÍC¥{