第二十一讲、高阶线性微分方程通解的结构 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第二十一讲、高阶线性微分方程通解的结构
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本讲教学目的与目标 ●高阶线性微分方程通解的结构与表示 回顾与展望：高阶方程和方程组的关系 。尽管高阶线性微分方程可以转化成线性微分方程组，但由于 高阶线性微分方程自身的特点，本讲单独讨论： 口1艺·4主12月双 张样：上海交通大学数学系第二十一讲、高阶钱性微分方程通解的结构
˘Æ8Ü8I p Ç5á©êßœ)(ÜL´ £Ü–"µp êß⁄êß|'X ¶+p Ç5á©êßå±=z§Ç5á©êß|, du p Ç5á©êßg A:, ˘¸’?ÿ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!p Ç5á©êßœ)(
高阶线性微分方程的定义与方程组的关系 n阶线性微分方程 y(m)+al(x)y(-1)+...+an-1(x)y/'+an(x)y=f(x),xEJ,(1) 。称为非齐次的，如果f(x)丰0. 。称为齐次的，如果f(x)三0，即 y()+al(x)y(n-1)+...+an-1(x)y+an(x)y=0,xEJ.(2) 高阶方程(1)在变换 1=yc,2=y(,,n=ym-1(x, 下化为方程组 张样：上海交通大学数学系 第二十一讲、高阶线性微分方程通解的结构
p Ç5á©êß½¬Üêß|'X n Ç5á©êß y (n) +a1(x)y (n−1) +...+an−1(x)y 0 +an(x)y = f(x), x ∈ J, (1) °èö‡g, XJ f(x) 6≡ 0. °è‡g, XJ f(x) ≡ 0, = y (n) +a1(x)y (n−1) +...+an−1(x)y 0 +an(x)y = 0, x ∈ J. (2) p êß (1) 3CÜ y1 = y(x), y2 = y 0 (x), ..., yn = y (n−1) (x), ezèêß| ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!p Ç5á©êßœ)(
杂=Ay+ (3) 其中 0 1 0 0 0 0 1 0 A(x)= .. 0 0 0 -an(x) -an-1(x) -an-2(x) -a1(x) 0 0 yx)=: ,fx)= Yn-1 f 张样：上海交通大学数学系 第二十一讲高阶钱性微分方程通解的结构
dy dx = A(x)y+f(x), (3) Ÿ• A(x) = 0 1 0 ··· 0 0 0 1 ··· 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ··· 1 −an(x) −an−1(x) −an−2(x) ··· −a1(x) , y(x) = y1 y2 . . . yn−1 yn , f(x) = 0 0 . . . 0 f(x) . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!p Ç5á©êßœ)(
从n阶线性方程(1)与n阶线性方程组(3)之间的关系容易得到， ●y=0(x)是(1)的解当且仅当 y=(p(x),'(x),pa-1(x)T是(3)的解， 其中T表示向量的转置， 类似地，对于线性齐次方程(2)的解1(x),,(x)可以定义它 们的Wronsky行列式 p1(x) 2() n(x) φ1(x) 5() () W(x)= -9e 0g0-9(国… a-6 且满足 We)=w0)e后a(sh,x∈J, 称为Liouville公式. 张样：上海交通大学数学系 第二十一讲、高阶线性微分方程通解的结构
l n Ç5êß (1) Ü n Ç5êß| (3) Ém'XN¥, y = φ(x) ¥ (1) )Ö= y = (φ(x),φ 0 (x),...,φ (n−1) (x))T ¥ (3) ), Ÿ• T L´ï˛=ò. aq/, ÈuÇ5‡gêß (2) ) φ1(x),...,φn(x) å±½¬ß Ç Wronsky 1™ W(x) = φ1(x) φ2(x) ··· φn(x) φ 0 1 (x) φ 0 2 (x) ··· φ 0 n (x) . . . . . . . . . . . . φ (n−1) 1 (x) φ (n−1) 2 (x) ··· φ (n−1) n (x) , Ö˜v W(x) = W(x0)e − R x x0 a1(s)ds , x ∈ J, °è Liouville ˙™. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!p Ç5á©êßœ)(