第二十四讲、平面常系数线性微分方程组的局 部结构与Mathematica作图 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第二十四讲、平面常系数线性微分方程组的局部结构
1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤ ‹(ÜMathematicaä„ ‹ å xzhang@sjtu.edu.cn â¶ûmµ±n˛ 6:30–8:20 : â¶/:µP„÷,ÍÆ¢ 301 ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(
本讲教学目的与目标 ·了解和掌握平面定性分析的基本方法 。熟悉Mathematica作常微分方程的局部相图 回顾： 常系数齐次线性微分组基解矩阵的求法 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上将交通大学数学系第二十四讲、平面常系数战性微分方程组的局部结构
˘Æ8Ü8I )⁄›º²°½5©¤ƒ ê{ ŸGMathematicaä~á©êߤ‹É„ £µ ~X͇gÇ5á©|ƒ)› ¶{ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(
微分方程解的几何结构的例子 给出平面微分方程组 d dt =2x, =-3y 解的局部结构 解：分别解两个方程得 x=cle2, y=ce-31 由此可得两个方程的联立方程，i.e. dx 2x 西=-3列 的通解 3y2=c, 其中c是任意常数 利用这些解的表达式画出所有轨线，及其运动方向。··三···三a。 张样：上海交通大学数学系 第二十四讲、平面常系数线性微分方程组的局寓结构
á©êß)A¤(~f â—²°á©êß| dx dt = 2x, dy dt = −3y )¤‹(. )µ ©O)¸áêß x = c1e 2t , y = c2e −3t . ddå¸áêßÈ·êß, i.e. dx dy = 2x −3y œ) x 3 y 2 = c, Ÿ•c¥?ø~Í |^˘ )Là™x—§k;Ç, 9Ÿ$ƒêï. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(
作为常系数线性齐次微分方程组解法的应用，本讲讨论平面常系 数线性微分方程组 ()=(）A(:)a (1) 在奇点(0,0)邻域轨线的局部结构，其中0表示2阶零矩阵. 定义： ●点(0，y0)∈R2称为方程 dx d =P(x,y), 帝=Qx 的奇点，如果P(x0,o)=0,Q(00)=0. 口间4之#主12刀风0 张样：上海交通大学数学系 第二十四讲平面常系数线性微分方程组的局部结构
äè~XÍÇ5‡gá©êß|){A^, ˘?ÿ²°~X ÍÇ5á©êß| d dt x y ! = A x y ! , A = a b c d ! 6= 0, (1) 3¤: (0,0) ç;Ǥ‹(, Ÿ• 0 L´ 2 "› . ½¬µ : (x0, y0) ∈ R 2 °èêß dx dt = P(x, y), dy dt = Q(x, y), ¤:, XJ P(x0, y0) = 0, Q(x0, y0) = 0. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(
·奇点(o,yo)称为初等奇点（或高阶奇点），如果Jacobi矩阵 ∂(P,2 a(x,y)(xo.yo) 的特征值至少有一个不为零（或都为零）： ·初等奇点(xo,yo)称为非退化的，如果Jacobi矩阵 ∂(P,2) ∂(x,y (0Jo) 的特征值都不为零.否则称为退化的 ·非退化初等奇点(o,yo)称为双曲的，如果Jacobi矩阵 ∂(P,2 a(x,y)(xoxo) 的特征值的实部都不为零.否则称为非双曲的 张样：上海交通大学数学系 第二十四讲、平面常系数线性微分方程组的局寓结构
¤: (x0, y0) °è– ¤: (½p ¤:), XJ Jacobi › ∂ (P,Q) ∂ (x, y) (x0,y0) , Aäñkòáÿè" (½—è"). – ¤: (x0, y0) °èöÚz, XJ Jacobi › ∂ (P,Q) ∂ (x, y) (x0,y0) , Aä—ÿè". ƒK°èÚz. öÚz– ¤: (x0, y0) °èV, XJ Jacobi › ∂ (P,Q) ∂ (x, y) (x0,y0) , A䢋—ÿè". ƒK°èöV. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(