上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第十二讲 高阶微分方程和方程组（解的存在、唯一、连续可微性）

第十二讲、高阶微分方程和方程组：解的存 在、唯一、连续可微性 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 口+94二年生42刀双0 张样：上海交通大学数学系 第十二讲、高阶微分方程和方程组：解的存在。唯一、连续可微性

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本讲教学目的与目标 高阶微分方程和方程组解的理论 掌握高阶微分方程和方程组解的存在、唯一性和连续可微性 温故： 一阶微分方程解的理论： 存在性、唯一性、 解关于初值和参数的连续性 张祥：上海交通大学数学系 第十二讲、高阶微分方程和方程组：解的存在、唯一、连续可微性

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课题引导： 。高阶微分方程和方程组是否有类似于一阶微分方程解的理 论？ ●高阶微分方程与方程组的关系如何？ 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上将交通大学数学系第十二讲、高阶微分方程和方程组：解的存在唯一、连续可微性

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高阶微分方程与方程组的联系 考虑含参数的n阶微分方程初值问题 o6=f(y,-6,） (1) yxo)=0,y(o)=y1,,y-9(xo)=ym-1, (2) 其中元是m维参数，0,0，y1,…,y-1是实常数.作变换 1=y(x),2=y(x),,n=y-1(x) 4口0+4生··生+2及0 张样：上海交通大学数学系 第十二讲、高阶微分方程和方程组：解的存在、难一、连续可微料

pá©êßÜêß|ÈX ƒ¹ÎÍ n á©êß–äØK y (n) (x) = f  x, y, y 0 ,..., y (n−1) (x),λ  , (1) y(x0) = y0, y 0 (x0) = y1, ..., y (n−1) (x0) = yn−1, (2) Ÿ• λ ¥ m ëÎÍ, x0, y0, y1,..., yn−1 ¥¢~Í. äCÜ z1 = y(x), z2 = y 0 (x), ..., zn = y n−1 (x). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!pá©êß⁄êß|µ)3!çò!ÎYåá5

令 1 22 3 Z= ,Z0= ,f= 3n-1 yn-2 Zn yn-1 f(x,z,2) 则n阶微分方程初值问题(1)转化成n阶微分方程组初值问题 '(x)=f(x,z,A), (3) z(x0）=20 (4) 张样：上海交通大学数学系 第十二讲，商阶微分方程和方程组：解的存在、唯一、连续可微性

- z =   z1 z2 . . . zn−1 zn   , z0 =   y0 y1 . . . yn−2 yn−1   , f =   z2 z3 . . . zn f(x, z,λ)   . K n á©êß–äØK (1) =z§ n á©êß|–äØK z 0 (x) = f(x, z,λ), (3) z(x0) = z0. (4) ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!pá©êß⁄êß|µ)3!çò!ÎYåá5