第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张样：上海交通大学数学系 第九讲、低缩映射原理与存在唯一性证明
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本讲教学目的与目标 压缩映射原理及其推广 微分方程初值问题解的存在唯一性定理及其证明 张祥：上海交通大学数学系 第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明
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回顾与思考 回顾： ·距离空间、完备距离空间. 思考： ·如何在距离空间中定义映射，使得微分方程初值问题解的存 在唯一性与映射联系起来 抽象距离空间中映射的例子： 设f(x,y)∈C(a,b]×R).在C[a,b上定义映射 T6y)(x) -frsxn, y(x)∈C[a,b: (1) 则T是从Ca,b到C[a,bl的映射. 张样：上海交通大学数学系 第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明
£Üg £µ Âlòm!Âlòm. gµ X¤3Âlòm•½¬N, ¶á©êß–äØK) 3çò5ÜNÈXÂ5. ƒñÂlòm•N~f: f(x, y) ∈ C([a,b]×R). 3 C[a,b] ˛½¬N T(y)(x) := Z x a f(s, y(s))ds, y(x) ∈ C[a,b]. (1) K T ¥l C[a,b] C[a,b] N. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!ÿ†NnÜ3çò5y²
压缩映射及其性质 设(X,P)是距离空间，T:X→X是一映射. ·若3a∈[0,1)使得对x,y∈X有 p(Tx,Ty)≤p(x,y), 称T是X上的压缩映射，为压缩常数 ●若30∈X使得T0=o,称xo是T的不动点. 注： ·本讲的主要目的是用压缩映射证明微分方程解的存在唯一 性. 张样：上海交通大学数学系 第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明
ÿ†N9Ÿ5ü (X,ρ) ¥Âlòm, T : X → X ¥òN. e ∃α ∈ [0,1) ¶È ∀x, y ∈ X k ρ(Tx,Ty) ≤ αρ(x, y), ° T ¥ X ˛ÿ†N, α èÿ†~Í. e ∃x0 ∈ X ¶ Tx0 = x0, ° x0 ¥ T ÿƒ:. 5µ ˘Ãá8¥^ÿ†Ny²á©êß)3çò 5. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!ÿ†NnÜ3çò5y²
命题15 距离空间上的压缩映射是连续的。 证：作为练习由读者自己完成 注：如果(1)中fx,y)关于y满足Lipschitz条件，且Lipschitz常 数L<1/(b-a).则T是C[a,b上的压缩映射. 下面的压缩映射原理 。又称为Banach不动点定理，是距离空间理论中的重要工具 之一 。它是由Stefan Banach(1892-1945,波兰数学家，现代泛函 分析的奠基人)于1922年给出的. 张样：上海交通大学数学系 第九讲、低缩映射原理与存在唯一性证明
·K 15 Âlòm˛ÿ†N¥ÎY" y: äèˆSd÷ˆgC§. 5: XJ (1) • f(x, y) 'u y ˜v Lipschitz ^á, Ö Lipschitz ~ Í L < 1/(b−a). K T ¥ C[a,b] ˛ÿ†N. e°ÿ†Nn q°è Banach ÿƒ:½n, ¥Âlòmnÿ•áÛ‰ Éò. ߥd Stefan Banach (1892ı1945, Å=ÍÆ[, yìçº ©¤Cƒ<) u 1922 câ—. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1 ˘!ÿ†NnÜ3çò5y²