第七讲、一阶隐式微分方程-2 高阶微分方程与Mathematica求解 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张样：上海交通大学数学系 第七讲、一阶隐式微分方程2、高阶微分方程与Mathematica求解
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本讲教学目的与目标 ·一阶隐式微分方程 x.y,dx =0 (1) 。不显含自变量x或y的方程的求解 。高阶微分方程的求解 。Mathematica求解 口0·4之·4生+2刀a0 张样：上海交通大学数学系 第七讲、一阶隐式微分方程-2、高阶教分方程与Mathematica求解
˘Æ8Ü8I ò ¤™á©êß F x, y, dy dx = 0. (1) ÿw¹gC˛ x ½ y ê߶) p á©ê߶) Mathematica ¶) ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1‘˘!ò ¤™á©êß-2!p á©êßÜMathematica¶)
回顾：y可解出的方程的求解 设方程(1)可写成 y=f,p:p=衣 (2) 其中f(x,p)连续可微. 将p作为新的因变量，对方程(2)两边关于x求导，得到p关 于x的导数的显示方程 (f(x;p)-p)dx+p(x,p)dp=0. (3) 口164怎生12月风0 张样：上海交通大学数学系第七讲、一阶隐式微分方程2、高阶微分方程与Mathematica求解
£µy å)—ê߶) êß (1) å§ y = f(x,p), p = dy dx , (2) Ÿ• f(x,p) ÎYåá. Ú p äè#œC˛, Èêß (2) ¸>'u x ¶, p ' u x Íw´êß (fx(x,p)−p)dx+fp(x,p)dp = 0. (3) ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1‘˘!ò ¤™á©êß-2!p á©êßÜMathematica¶)
●若方程(3)有通解p=u(x,c),则方程(2)有通解 y=f(x,u(x,c),其中c是任意常数 对特解有类似的结论 ·若方程(3)有通解x=v(p,c),则方程(2)有含参数p的通解 x=v(p;c); 其中c是任意常数. y=f(v(p,c);p), 对特解有类似的结论。 4口6+4之·4生+2月a0四 张样：上海交通大学数学系 第七讲、一阶隐式微分方程-2、高阶教分方程与Mathematica求解
eêß (3) kœ) p = u(x, c), Kêß (2) kœ) y = f(x,u(x, c)), Ÿ• c ¥?ø~Í. ÈA)kaq(ÿ. eêß (3) kœ) x = v(p, c), Kêß (2) k¹ÎÍ p œ) x = v(p, c), y = f(v(p, c),p), Ÿ• c ¥?ø~Í. ÈA)kaq(ÿ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1‘˘!ò ¤™á©êß-2!p á©êßÜMathematica¶)
例1：求解Clairaut方程 y=xp+f(p), 会ro0 p= 解：对Clairaut方程两边关于x求导得 d迎=0. (c+fp》 o由裴=0得到Clairaut方程的通解 y=cx+f(c), 其中c是任意常数.注意：Clairaut方程的通解由一族直线构 成. ●由x+f'(p)=0得到Clairaut方程的特解 x=-f(p),y=xp+f(p), 其中p是参数， 日回4他”“生12月风 张样：上海交通大学数学系 第七讲、一阶隐式微分方程2、高阶微分方程与Mathematica求解
~ 1: ¶) Clairaut êß y = xp+f(p), p = dy dx , f 00(p) 6= 0. ): È Clairaut ê߸>'u x ¶ (x+f 0 (p))dp dx = 0. d dp dx = 0 Clairaut êßœ) y = cx+f(c), Ÿ• c ¥?ø~Í. 5ø: Clairaut êßœ)dòxÜÇ §. d x+f 0 (p) = 0 Clairaut êßA) x = −f 0 (p), y = xp+f(p), Ÿ• p ¥ÎÍ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1‘˘!ò ¤™á©êß-2!p á©êßÜMathematica¶)