第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和 压缩映射原理 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张样：上海交通大学数学系 第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和压络映射原理
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本讲教学目的与目标 从本讲开始，连续四讲讲述第二章的内容： 微分方程初值问题解的存在性、唯一性、连续依赖性 作为研究微分方程初值问题解的存在性、唯一性的准备，也为同 学们了解现代分析一些基础知识 本讲主要介绍 距离空间的定义和基本性质 完备距离空间的压缩映射原理 张祥：上海交通大学数学系 第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和压缩映射原理
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回顾与思考 回顾：解的存在、唯一性定理。 思考：有可能从哪方面入手证明！ ●常微分方程初值问题解的存在唯一性的证明有多种方法。 ●大多数教科书采用的是Picard的逐次逼近法， ●本书将运用较为近代的证明方法，利用完备距离空间中的压 缩映射原理证明微分方程解的存在性等结论， ·压缩映射原理体现了现代分析的思想，有利于学生后续抽象 分析课程的学习. 口+4二·生￥2)风 张样：上海交通大学数学系 第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和压蜜映射原理
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距离空间的定义和例子 温故： ●Rn中的距离有哪些定义？ 。R”中的距离在微积分中起到哪些作用？ 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上将交通大学数学系第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和压缩映射原理
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R”中常见的距离定义 ·实数集R中任意x,y的距离通常定义为 p(x,y)=x-yl, 其中表示R中点的绝对值 ●对R”中任意两点x=(x1,,n),y=y1,,y), p(,y)=V/(1-y)2+.+(xn-n)2 定义了x与y之间的距离， 微积分中的 ·极限和函数的连续性， 。曲线的长度等等， 都离不开距离 口8+4二·生￥2)风 张样：上海交通大学数学系 第八讲、存在唯一性定理的证明：距离空间和压络映射原理
R n •~ÑÂl½¬ ¢Í8 R •?ø x, y Âlœ~½¬è ρ(x, y) = |x−y|, Ÿ•|·|L´R•:˝Èä. È R n •?ø¸: x = (x1,..., xn), y = (y1,..., yn), ρ(x, y) = q (x1 −y1) 2 +...+ (xn −yn) 2 ½¬ x Ü y ÉmÂl. ứ• 4Å⁄ºÍÎY5ß Ç› , —lÿmÂl. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1l˘!3çò5½ny²µÂlòm⁄ÿ†Nn