第十讲、解的存在性：Peano定理 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张样：上海交通大学数学系 第十讲、解的存在性：Peano定理
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本讲教学目的与目标 如何减弱Picard定理的条件，使得保证解的存在性 连续性条件下，存在性定理的证明 回顾： Picard定理中常微分方程初值问题解的存在和唯一性的条 件 两个条件所起的作用 张祥：上海交通大学数学系 第十讲、解的存在性：Peano定理
˘Æ8Ü8I X¤~fPicard½n^á߶y)35 ÎY5^áeß35½ny² £µ Picard½n•~á©êß–äØK)3⁄çò5^ á. ¸á^á§Âä^ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!)35µPeano ½n
回顾与思考 设问与思考： ·只有连续性假设能否保证解的存在性？ ·方法上如何突破？ 本节将证明连续性即可保证微分方程初值问题解的存在性 张样：上海交通大学数学系 第十讲、解的存在性：Peano定理
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方法突破：Ascoli--Arzela引理 函数列{fn(x)},x∈ICR称为在I上 。一致有界，如果3K>0使得对所有的n∈N,x∈I都 有f(xl≤K; 。等度连续，如果对Ve>0都3δ>0使得对所有的n∈N, x1,x2∈I,只要x1-x2l<δ就有f(x)-fn(x2川≤e. 比较分析： ·一致有界与有界的区别与联系？ 。等度连续与一致连续的关系？ 日4艺”4主12月双0 张样：上海交通大学数学系 第十讲、解的存在性：Peano定理
ê{‚ªµ Ascoli–Arzelà ⁄n ºÍ {fn(x)}, x ∈ I ⊂ R °è3 I ˛ òók., XJ ∃K > 0 ¶È§k n ∈ N, x ∈ I — k |fn(x)| ≤ K; ›ÎY, XJ È ∀ε > 0 — ∃δ > 0 ¶È§k n ∈ N, x1, x2 ∈ I, êá |x1 −x2| < δ “k |fn(x1)−fn(x2)| ≤ ε. '©¤µ òók.Ük.´OÜÈXº ›ÎYÜòóÎY'Xº ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!)35µPeano ½n
下面的结果给出函数列存在一致收敛的子列的充分条件. Ascoli--Arzela引理 如果函数列{fn(x)}在有界闭集I上 。一致有界、 ·等度连续， 则{f(x)}有子列在I上一致收敛. Ascoli--Arzela引理的证明几乎在每一本泛函分析的教科书都 有（参见张恭庆等的泛函分析讲义），但证明都是在抽象空间中给 出的. 教材的附录中有一个初等的证明， 张样：上海交通大学数学系 第十讲、解的存在性：Peano定理
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