第二十二讲、常系数线性微分方程组：矩阵指 数解与Jordan标准型求法 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第二十二讲、常系数线性微分方程组：矩阵指数解与Jordan标准型
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本讲教学目的与目标 。矩阵指数函数的定义与性质 ●Jordan标准型求矩阵指数函数 展望：线性齐次微分方程组的基解矩阵没有一般的解法。 。是否有可解的特殊情况？ 常系数线性微分方程组！ 口年9·+二￥+生42刀风 张样：上海交通大学数学系第三十三讲、常系数线性微分方程组：矩阵指数解与Jordant标准委
˘Æ8Ü8I › çͺͽ¬Ü5ü Jordan IO.¶› çÍºÍ –"µÇ5‡gá©êß|ƒ)› vkòÑ){" ¥ƒkå)Aœú¹? ~XÍÇ5á©êß|! ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{
问题的提出 考虑常系数线性微分方程组 =Ay+(x), d x∈J=(a,b), (1) 其中A是n阶实常数矩阵，f(x)∈C(J): 设问与导引： ·当n=1时，记A=a,方程(1)对应的齐次方程有通 解y=cea. ●试想当n>1时，方程组(1)对应的齐次方程组的通解是否有 类似于一阶方程的形式？ ·如果有，如何定义矩阵指数函数？ 张样：上海交通大学数学系 第二十二讲、常系数线性微分方程组：矩阵指数解与ordan标准型
ØKJ— ƒ~XÍÇ5á©êß| dy dx = Ay+f(x), x ∈ J = (a,b), (1) Ÿ• A ¥ n ¢~Í› , f(x) ∈ C(J). ØÜ⁄µ n = 1 û, P A = a, êß (1) ÈA‡gêßkœ ) y = ceax . £é n > 1 û, êß| (1) ÈA‡gêß|œ)¥ƒk aquò êß/™º XJkßX¤½¬› çͺͺ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{
矩阵指数函数及其性质 用化表示n阶实常数矩阵的全体构成的集合.则 M在矩阵的加法和矩阵与实数的乘法下构成一个线性空间. 对A=(a)∈.化，定义A的模为 lajl- 则矩阵的模满足下列性质：对VA,B∈化，V入∈R, 1)IAl≥0，A‖=0→A=0: 2)I2A‖=2lA‖，元∈R; 3)IA+Bl≤A|+B; 4)IABl≤AILIB,IA‖≤IA,k∈N. 口同中二生￥2月双0 张样：上海交通大学数学系 第二十二讲、常系数线性微分方程组：矩阵指数解与odan标准至
› çͺÍ9Ÿ5ü ^ M L´ n ¢~Í› N§8‹. K M 3› \{⁄› ܢͶ{e§òáÇ5òm. È A = (aij) ∈ M, ½¬ A è kAk = n ∑ i,j=1 |aij|. K› ˜ve5üµÈ ∀A,B ∈ M, ∀λ ∈ R, 1) kAk ≥ 0, kAk = 0 ⇐⇒ A = 0; 2) kλAk = |λ|kAk, λ ∈ R; 3) kA+Bk ≤ kAk+kBk; 4) kABk ≤ kAk kBk, kA kk ≤ kAk k , k ∈ N. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{
证：前3条性质是显然的.下证第4条：对A=(a),B=(b), 令c=名g则AB=c小从而 IIABII 马loallbu-Eau2wl ≤ 22a立Ibs=IAIB, -1k-1 k.=1 进一步地，A≤IAk-1IIIA‖≤A 口0·4之·4生+2刀a0四 张样：上海交通大学数学系 第二十二讲、常系数线性微分方程组：矩阵指数解与ordan标准型
y: c 3 ^5ü¥w,. ey1 4 ^µÈ A = (aij), B = (bij), - cij = n ∑ k=1 aikbkj. K AB = (cij). l kABk = n ∑ i,j=1 |cij| ≤ n ∑ i=1 n ∑ j=1 n ∑ k=1 |aik||bkj| = n ∑ i=1 n ∑ k=1 |aik| n ∑ j=1 |bkj| ≤ n ∑ i=1 n ∑ k=1 |aik| n ∑ k,j=1 |bkj| = kAk kBk. ?ò⁄/, kA kk ≤ kA k−1k kAk ≤ kAk k . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{