第十八讲、前沿探索：Hamilton系统初步 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第十八讲、前沿探索：Hamilton系统初步
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本讲教学目的与目标 ●前沿介绍：Hamilton系统的可积与应用。 温故： n维空间中首次积分、可积的概念和性质等。 日+4艺”4主12月双0 张样：上将交通大学数学系第十八讲，的沿探装：Hamilton系统初步
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Hamilton系统的可积 可积Hamilton系统具有极其丰富的内容，它 ·不仅联系到经典分析， ●还联系到代数几何，Riemann几何和代数拓扑，辛几何和辛 拓扑等等， 本讲介绍其中一些最浅显的基础知识。 4口6·4之·4生+280 张样：上海交通大学数学系 第十八讲、前沿探索：Hamilton系统初步
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定义： 设H(q,p)是2n维空间中的连续可微函数，其中 q=(q1,,qn),p=(p1,,Pn) 微分方程组 dqi(t)）∂H ∂H i=1, dt Opi 0= 称为 。n自由度的Hamilton系统， 。H称为Hamilton函数. Hamilton函数总是相应的Hamilton系统的首次积分. 张样：上海交通大学数学系 第十八讲，館沿探索：Hamilton系统初步
½¬µ H(q,p) ¥ 2n ëòm•ÎYåáºÍ, Ÿ• q = (q1,...,qn), p = (p1,...,pn). á©êß| dqi(t) dt = ∂H ∂pi , dpi(t) dt = − ∂H ∂qi , i = 1,..., °è n gd› Hamilton X⁄, H °è Hamilton ºÍ. Hamilton ºÍo¥ÉA Hamilton X⁄ƒg»©. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!c˜&¢µHamiltonX⁄–⁄
上述Hamilton系统用矩阵的形式可写成 (8)=a() (1) 其中0是n阶零矩阵，E是n阶单位矩阵，VH表示H的梯度，即 VH=(Ha....Han Hp...,Hpa). 以上定义的是R2m中标准的Hamilton系统. 口0·4之·4生+2刀a0四 张样：上海交通大学数学系 第十八讲、前沿探索：Hamilton系统初步
˛„ Hamilton X⁄^› /™å§ q˙ p˙ ! = J∇H, J = 0 E −E 0 ! , (1) Ÿ• 0 ¥ n "› , E ¥ n ¸†› , ∇H L´ H F›, = ∇H = (Hq1 ,...,Hqn ,Hp1 ,...,Hpn ) T . ±˛½¬¥ R 2n •IO Hamilton X⁄. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!c˜&¢µHamiltonX⁄–⁄