第二十六讲、高阶常系数线性非齐次微分方 程：待定系数解法 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第二十六讲、高阶常系数线性非齐次微分方程：待定系数解法
1õ8˘!p ~XÍÇ5ö‡gá©ê ßµñ½XÍ){ ‹ å xzhang@sjtu.edu.cn â¶ûmµ±n˛ 6:30–8:20 : â¶/:µP„÷,ÍÆ¢ 301 ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!p ~XÍÇ5ö‡gá©êßµñ½XÍ){
本讲教学目的与目标 ·高阶常系数线性非齐次微分方程的待定系数解法 回顾： ·线性非齐次微分方程组通解的结构 口8+4二·生￥2)风 张样：上涛交通大学数学系 第二十六讲、高阶常系数线性非齐次微分方程：特定系数解法
˘Æ8Ü8I p ~XÍÇ5ö‡gá©êßñ½XÍ){ £µ Ç5ö‡gá©êß|œ)( ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!p ~XÍÇ5ö‡gá©êßµñ½XÍ){
常系数线性非齐次微分方程的待定系数法 本讲讨论常系数n阶线性非齐次微分方程 L(y):=y(m)+aly(n-1)+...+an-1y+any=f(x), (1) 当非线性项fx)具有一些特殊形式时， 通过待定系数法求(1)特解的方法： 方程(1)的特征方程为 P(2)=入m+a12m-1+..+an-1入+an=0. (2) 口间中之#主42刀双0 张样：上将交通大学数学系第二十六讲、高阶常系数战姓非齐次微分方程：持定系数解法
~XÍÇ5ö‡gá©êßñ½XÍ{ ˘?ÿ~XÍ n Ç5ö‡gá©êß L(y) := y (n) +a1y (n−1) +...+an−1y 0 +any = f(x), (1) öÇ5ë f(x) ‰kò Aœ/™û, œLñ½XÍ{¶ (1) A)ê{µ êß (1) Aêßè P(λ) = λ n +a1λ n−1 +...+an−1λ +an = 0. (2) ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!p ~XÍÇ5ö‡gá©êßµñ½XÍ){
下面就f(x)的具体形式用待定系数法求方程(1)的特解。 1.当f(x)=Pm(x)e,其中Pm(x)是一个m次多项式 微分方程(1)有形如 p*()=x2m(x)e, 的特解，其中 。k是当u为特征方程(2)的根时的重数 。如果u不是特征方程(2)的根，则k=0 。Qm(x)是待定的m次多项式. 张样：上涛交通大学数学系 第二十六讲、高阶常系数线性非齐次微分方程：特定系数解法
e°“ f(x) ‰N/™^ñ½XÍ{¶êß (1) A)" 1. f(x) = Pm(x)e µx , Ÿ• Pm(x) ¥òá m gıë™, á©êß (1) k/X φ ∗ (x) = x kQm(x)e µx , A), Ÿ• k ¥ µ èAêß (2) äûÍ XJ µ ÿ¥Aêß (2) ä, K k = 0 Qm(x) ¥ñ½ m gıë™. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!p ~XÍÇ5ö‡gá©êßµñ½XÍ){
2.当fx)=(Am(x)cos(Bx)+Bm(x)sin(Bx)e,其中 Am(x),Bm(x)是多项式，且max{degP,degom}=m, 微分方程(1)有形如 o*(x)=x(Cm(x)cos(Bx)+Dm(x)sin(Bx))eax, 的特解，其中 。k是当a+√一IB为特征方程(2)的根时的重数 。如果+√一IB不是特征方程(2)的根，则k=0 ·Cm(x),Dm(x)是待定的m次多项式. 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上将交通大学数学系第二十六讲、高阶常系数战姓非齐次微分方程：持定系数解法
2. f(x) = (Am(x) cos(βx) +Bm(x)sin(βx))e αx , Ÿ• Am(x), Bm(x) ¥ıë™, Ömax{degPm,degQm} = m, á©êß (1) k/X φ ∗ (x) = x k (Cm(x) cos(βx) +Dm(x)sin(βx))e αx , A), Ÿ• k ¥ α + √ −1β èAêß (2) äûÍ XJ α + √ −1β ÿ¥Aêß (2) ä, K k = 0 Cm(x), Dm(x) ¥ñ½ m gıë™. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!p ~XÍÇ5ö‡gá©êßµñ½XÍ){