第十一讲、解对初值和参数的连续依赖性 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张样：上海交通大学数学系 第十一讲、解对初值和参数的连续依孩性
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本讲教学目的与目标 。解对初值和参数的连续依赖性 温故： 。回顾Peano定理及其证明，强调存在区间 思考： ●初值问题的解与方程的参数和初始条件的关系如何 口1艺·4主12月双 张样：上将交通大学数学系第十一讲解对初值和梦数的连铁依孩性
˘Æ8Ü8I )È–ä⁄ÎÍÎYù65 ßµ £Peano½n9Ÿy²ßrN3´m gµ –äØK)ÜêßÎÍ⁄–©^á'XX¤ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!)È–ä⁄ÎÍÎYù65
解对初值和参数的连续依赖性 对于含参数的微分方程初值问题： 费=，， y(xo)=yo, (1) 设问： ·微分方程(1)的解与其参数之间的关系如何？ 。解又如何依赖于初始条件？ 张样：上海交通大学数学系 第十一讲、解对初值和参数的连续依孩性
)È–ä⁄ÎÍÎYù65 Èu¹ÎÍá©êß–äØK: dy dx = f(x, y,λ), y(x0) = y0, (1) Ø: á©êß(1))ÜŸÎÍÉm'XX¤? )qX¤ù6u–©^á? ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!)È–ä⁄ÎÍÎYù65
先看一个简单的例子.初值问题： dx d =ax,x(to)=x0; 的解为 x(t)）=x0ea-o) 它不仅是自变量1的函数，而且也是方程的参数a和初始条 件(t0,x0)的函数. 因解是方程的参数和初始条件的函数，以后把解x(t)也写成 x(t;to:xo,a). 口1艺·4主12月双 张样：上海交通大学数学系 第十一讲、解对初值和参数的连铁依孩性
kwòá{¸~f. –äØK: dx dt = ax, x(t0) = x0, )è x(t) = x0e a(t−t0) . ßÿ=¥gC˛ t ºÍ, Öè¥êßÎÍ a ⁄–©^ á (t0, x0) ºÍ. œ)¥êßÎÍ⁄–©^áºÍ, ±r) x(t) è§ x(t;t0, x0,a). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!)È–ä⁄ÎÍÎYù65
初值转化为参数： 考虑含参数的微分方程初值问题(1)，i.e =fx,y,入)， y(xo)=yo, 其中入∈KCRm是m维参数 令 1=x-x0,4=y-y0: 则上述初值问题转化为 =f+0,u+0,2),0)=0. du 即初值问题(1)的初始条件转化成为新系统的参数。 因此不失一般性，下面只考虑含参数的初值问题： =fy,0=0 (2) )a0 张样：上海交通大学数学系 第十一讲、解对初值和参数的连续依孩性
–ä=zèÎÍ: ƒ¹ÎÍá©êß–äØK(1), i.e dy dx = f(x, y,λ), y(x0) = y0, Ÿ• λ ∈ K ⊂ R m ¥ m ëÎÍ. - t = x−x0, u = y−y0, K˛„–äØK=zè du dt = f(t +x0,u+y0,λ), u(0) = 0. =–äØK (1) –©^á=z§è#X⁄ÎÍ. œdÿîòÑ5, e°êƒ¹ÎÍ–äØK: dy dx = f(x, y,λ), y(0) = 0. (2) ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!)È–ä⁄ÎÍÎYù65