从上述两个函数方程组得到 =0. 染- 由于V,·,Vn是函数独立的，上述齐次线性方程有唯一的解 dofi=0.i=1,..n. d 这就证明了(2)是(1)的解， 而(2)是(1)的通解可由 ∂0 及V是函数独立的首次积分， 得到. 张样：上海交通大学数学系 第十六讲、首次积分之间的关系、与通解的联系
l˛„¸áºÍêß| ∂V ∂y ∂ φ1 ∂ x −f1 . . . ∂ φn ∂ x −fn = 0. du V1,...,Vn ¥ºÍ’·, ˛„‡gÇ5êßkçò) dφi dx −fi = 0, i = 1,...,n, ˘“y² (2) ¥ (1) ). (2) ¥ (1) œ)åd ∂ φ ∂ c = ∂V ∂y −1 , 9V ¥ºÍ’·ƒg»©, . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX
2.证(2)包含了(1)的所有解. 分析：证明任一解必与(2)中某个解一致！ 设y=Ψx)是(1)的过(o,yo)的位于G中的一个解，即 y0=V(x0), 令co=V(xo,yo).则由隐函数存在定理从函数方程 V(x,y)=c0, 得到的解 y=(x,co)是微分方程组(1)的解，且满足p(o,co)=yo. 故由解的唯一性得(x,co)=V(x) 定理证毕 口+艺·4主12月双 张样：上将交通大学数学系第十六讲、首次积分之何的关系、与通解的联系
2. y (2) ù¹ (1) §k). ©¤: y²?ò)7Ü (2) •,á)òóú y = ψ(x) ¥ (1) L (x0,y0) †u G •òá), = y0 = ψ(x0), - c0 = V(x0,y0). Kd¤ºÍ3½nlºÍêß V(x,y) = c0, ) y = φ(x, c0) ¥á©êß| (1) ), Ö˜v φ(x0, c0) = y0. d)çò5 φ(x, c0) = ψ(x). ½ny. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX