第十四讲、二阶线性微分方程的幂级数解法 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 日161二”·生12月只0 张样：上海交通大学数学系 第十四讲、二阶线性微分方程的器级数解法
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本讲教学目的与目标 ●提供一类变系数线性微分方程的一个解法 回顾： ·线性微分方程解的理论、求解方法（常系数、变系数） ·幂级数、及其收敛判别法 4口，6+4之·4生+2风0 张样：上海交通大学数学系 第十四讲、二阶线性微分方程的幂级数解法
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本讲再次回到二阶线性齐次微分方程 y"+p(x)y'+g(x)y=0. (1) 设问： ●P,q应具有怎样的性质才有可能求出其幂级数解？ 定义： ·如果p(x),q(x)在和的某邻域解析，称o为(1)的常点. ·如果p(x)或q(x)在x0不解析，称xo为(1)的奇点. 口1艺”4主12月双 张样：上将交通大学数学系第十四讲、二阶线性微分方程的器级数解法
˘2g£ Ç5‡gá©êß y 00 +p(x)y 0 +q(x)y = 0. (1) ص p,q A‰kN5ü‚kåU¶—Ÿò?Í)? ½¬µ XJ p(x),q(x) 3 x0 ,ç)¤, ° x0 è (1) ~:. XJ p(x) ½ q(x) 3 x0 ÿ)¤, ° x0 è (1) ¤:. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘! Ç5á©êßò?Í){
幂级数解的理论：常点 首先考虑方程(1)在常点邻域解析解的收敛半径， 定理56 设p(x),9(x)在x-xo<p内可展成关于x-xo的收敛的幂级数， 则方程(1)在x-0<p内有收敛的幂级数解 y因=∑cx-xo) k=0 其中co,C1是任意常数，ck,k>1可由递推公式通过co,c1表示 张样：上海交通大学数学系 第十四讲、二阶线性微分方程的幂级数解法
ò?Í)nÿ: ~: ƒkƒêß (1) 3~:ç)¤)¬Òåª. ½n 56 p(x),q(x) 3 |x−x0| < ρ Så–§'u x−x0 ¬Òò?Í, Kêß (1) 3 |x−x0| < ρ Sk¬Òò?Í) y(x) = ∞ ∑ k=0 ck(x−x0) k , Ÿ• c0, c1 ¥?ø~Í, ck, k > 1 åd4Ì˙™œL c0, c1 L´. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘! Ç5á©êßò?Í){
分析思想引导： 。回忆高阶微分方程与方程组的关系 。原问题转化为线性微分方程组的同样的问题 ●回忆解析微分方程组解析解存在性的证明 。如何将解析微分方程组解析解存在性的证明合理地移植到线 性微分方程组？ 口年9+二￥4生42刀双0 张样：上海交通大学数学系 第十四讲、二阶线性微分方程的器级数解法
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