第十九讲、线性微分方程组：解的存在区间与 通解的结构 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区间与通解的结构
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本讲教学目的与目标 ●线性微分方程组通解的结构 回顾与展望： 。回顾一阶线性微分方程解的存在区间与通解的结构。 ●猜想：线性微分方程组解的存在区间和通解结构！这是科学 发现的重要手段之一！ 口8+4二·4生￥2)风0 张样：上海交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区问与通解的结构
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线性微分方程组的定义 考虑线性微分方程组 空=A咖+， x∈J:=(a,β)CR, (1) 其中A(x)=(a(x)nxm是n阶方阵， f() f(x) 。如果(x)丰0，x∈J,称(1)为一阶线性非齐次微分方程组. 。如果f(x)三0，x∈J,即 d dx =A(x)y, (2) 称为一阶线性齐次微分方程组 口卡间4二#主年2月风 张样：上海交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区间与通解的结构
Ç5á©êß|½¬ ƒÇ5á©êß| dy dx = A(x)y+f(x), x ∈ J := (α,β) ⊂ R, (1) Ÿ• A(x) = (aij(x))n×n ¥ n ê , y = y1 . . . yn , f(x) = f1(x) . . . fn(x) . XJ f(x) 6≡ 0, x ∈ J, ° (1) è ò Ç5ö‡g á©êß|. XJ f(x) ≡ 0, x ∈ J, = dy dx = A(x)y, (2) °è ò Ç5‡g á©êß|. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)(
对于纯量线性微分方程，通过直接求解得到 线性微分方程解在系数函数连续的区间上都存在且连续. 问题： ·线性微分方程组是否有求解方法？ 。如何判定它的解的存在区间？ 重要工具：Gronwall不等式 本讲给出的存在区间的证明将用到在很多数学学科中广泛使用 的Gronwall不等式 它有很多不同的形式，下面是其中较为基础的一个 4口6·4之··生+2a0 张样：上海交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区问与通解的结构
ÈuX˛Ç5á©êß, œLܶ) Ç5á©êß)3XͺÍÎY´m˛—3ÖÎY. ØK: Ç5á©êß|¥ƒk¶)ê{º X¤½ß)3´mº áÛ‰µGronwall ÿ ™ ˘â—3´my²Ú^3ÈıÍÆÆâ•2ç¶^ Gronwall ÿ ™. ßkÈıÿ”/™, e°¥Ÿ•èƒ:òá. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)(
命题37(Gronwall不等式) 假设c(t),0(1),g(t)是[a,b1上的连续函数，且 g(t),c'(t≥0,1∈a,b 若 p0≤c0+8⊙6ds (3) 则 p(t)≤c)e6sd t∈[a,b (4) 口卡间中之#主年2刀风0 张样：上将交通大学数学系第十九讲、线性微分方程组：解的存在区间与通解的结构
·K 37 (Gronwall ÿ ™) b c(t),φ(t),g(t) ¥ [a,b] ˛ÎYºÍ, Ö g(t), c 0 (t) ≥ 0, t ∈ [a,b]. e φ(t) ≤ c(t) +Z t a g(s)φ(s)ds, t ∈ [a,b], (3) K φ(t) ≤ c(t)e R t a g(s)ds , t ∈ [a,b]. (4) ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)(