第十三讲、解析微分方程的解析解 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张样：上海交通大学数学系 第十三讲、解析微分方程的解折解
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本讲教学目的与目标 ●解析微分方程解的解析理论 温故： ·光滑微分方程的解关于初始条件和参数与微分方程有相同的 光滑性。 问题：如果微分方程解析，它的解是否也解析？ 本讲讨论解析微分方程解析解的存在性. 口1艺·4主12月双 张样：上将交通大学数学系第十三讲、解新微分方程的解折解
˘Æ8Ü8I )¤á©êß))¤nÿ ßµ 1wá©êß)'u–©^á⁄ÎÍÜá©êßkÉ” 1w5" ØKµ XJá©êß)¤ßß)¥ƒè)¤º ˘?ÿ)¤á©êß)¤)35. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!)¤á©êß)¤)
解析的定义 回顾： 。Taylor展开，C函数 ●幂级数及其收敛性， ●初等函数Taylor展开的收敛 例子： 。e,ln(1+x), sinx,tanx, ，x≠0 10, x=0, of(x)=xx,x∈NU{0} 张样：上海交通大学数学系 第十三讲、解析微分方程的解折解
)¤½¬ £: Taylor –m, C ∞ ºÍ ò?Í9Ÿ¬Ò5ß – ºÍTaylor–m¬Ò ~fµ e x , ln(1+x), sinx, tanx, f(x) = ( e − 1 x 2 , x 6= 0 0, x = 0, f(x) = x n |x|, x ∈ N∪ {0} ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!)¤á©êß)¤)
对于n维向量y和yo, 下面将分别用片和y0表示它们的的第i个分量. 解析函数的定义： 函数f(x,y)在区域2CR1+n内解析，如果对(xo,yo)∈2， 3a>0,B>0使得f(x,y)在 D:={x,y:x-xol≤a,yi-yol≤B,i=1,,n}C2, 内可以展开成x一x0,y-yo的收敛的幂级数 fx,)=∑ac-o'y-wy ,0=0 其中(y-yo护=(y1-yo.(0n-yo产，jl=ji1+..+jm 张样：上海交通大学数学系 第十三讲，解折微分方程的解折解
Èu n ëï˛ y ⁄ y0, e°Ú©O^ yi ⁄ yi0 L´ßÇ1 i ᩲ. )¤ºÍ½¬µ ºÍ f(x,y) 3´ç Ω ⊂ R 1+n S)¤, XJÈ ∀(x0,y0) ∈ Ω, ∃α > 0,β > 0 ¶ f(x,y) 3 D := {(x,y); |x−x0| ≤ α,|yi −yi0| ≤ β,i = 1,...,n} ⊂ Ω, Så±–m§ x−x0, y−y0 ¬Òò?Í f(x,y) = ∞ ∑ i,|j|=0 aij(x−x0) i (y−y0) j , Ÿ• (y−y0) j = (y1 −y10) j1 · ... ·(yn −yn0) jn , |j| = j1 +...+jn. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!)¤á©êß)¤)
优级数、优函数的定义： 给定幂级数 ag(x-xo'(y-yo), (1) .l=0 Ac-xo(y-yo月， (2) ,l=0 ●如果al≤A,称(2)是(1)的优级数 ●如果(2)是(1)的优级数，且(2)在D上收敛， 记和函数为F(x,y) 称F(x,y)是(1)在D内的优函数. 张样：上海交通大学数学系 第十三讲、解析微分方程的解折解
`?Í!`ºÍ½¬µ â½ò?Í ∞ ∑ i,|j|=0 aij(x−x0) i (y−y0) j , (1) ∞ ∑ i,|j|=0 Aij(x−x0) i (y−y0) j , (2) XJ |aij | ≤ Aij , ° (2) ¥ (1) `?Í; XJ (2) ¥ (1) `?Í, Ö (2) 3 D ˛¬Ò, P⁄ºÍè F(x,y) ° F(x,y) ¥ (1) 3 D S`ºÍ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õn˘!)¤á©êß)¤)