第四讲、初等积分法：积分因子法和变量分离 方程 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 4口0+4生··生+2及0 张样：上涛交通大学数学系 第四讲、积分因子法和变量分离方程
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恰当方程温习与回顾 ·恰当方程的判定和求法*1 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上海交通大学数学系第四讲、积分因子法和变量分离方程
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本讲教学目的与目标 积分因子法求解微分方程 通过例子进一步理解积分因子法 分项组合求积分因子 变量分离方程的解法和应用 张祥：上海交通大学数学系 第四讲、积分因子法和变量分离方程
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积分因子法的定义 对称形式的方程 P(x,y)dx+(x,y)dy =0, (1) 可能不是恰当方程，但有时乘以某个恒不为零的因子μ(x,y)后成 为恰当方程，即 u(x,y)P(x,y)dx+u(x,y)o(x,y)dy =0,(x,y)E2, (2) 是恰当方程.称μ(x,y)是方程(1)在2中的积分因子. 注意到，方程(1)和(2)在Ω上是同解的（因u(x,y)≠0），故求解 方程(1)等价于求解方程(2)： 问题引导：方程(1)是否存在积分因子？如何判定？ 张样：上海交通大学数学系第四讲、积分因子法和变量分离方程
»©œf{½¬ È°/™êß P(x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, (1) åUÿ¥Têß, kû¶±,áðÿè"œf µ(x, y) § èTêß, = µ(x, y)P(x, y)dx+ µ(x, y)Q(x, y)dy = 0, (x, y) ∈ Ω, (2) ¥Têß. ° µ(x, y) ¥êß (1) 3 Ω •»©œf. 5ø, êß (1) ⁄ (2) 3 Ω ˛¥”) (œ µ(x, y) 6= 0), ¶) êß (1) du¶)êß (2). ØK⁄: êß (1) ¥ƒ3»©œfºX¤½º ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1o˘!»©œf{⁄C˛©lêß
积分因子法存在的判定 命题5 方程(1)在2上有积分因子当且仅当关于4的偏微分方程 0 dy u. 在2上有恒不为零的解.特别地， 。方程(1)有只含x的积分因子的充要条件是 P,(x,y)-2x(x,y) e(x,y) 是x的函数，记为G(x),则积分因子为μ()=eGd 张样：上海交通大学数学系 第四讲、积分因子法和变量分离方程
»©œf{3½ ·K 5 êß (1) 3 Ω ˛k»©œfÖ='u µ †á©êß P ∂ µ ∂ y −Q ∂ µ ∂ x = ∂Q ∂ x − ∂P ∂ y µ, 3 Ω ˛kðÿè"). AO/, êß (1) kê¹ x »©œføá^ᥠPy(x, y)−Qx(x, y) Q(x, y) , ¥ x ºÍ, Pè G(x), K»©œfè µ(x) = e R G(x)dx . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1o˘!»©œf{⁄C˛©lêß