孤立奇点的分类 考虑f(z)在孤立奇点zo的去心邻域内的Laurent级数 f0-立e-wn=a+-w 十00 00 00 C-n n=-00 n=1 n=0 C-2 C-1 =…+-202+z-0 +C0+CG1(z-Z0)+c2(z-z0)2+… (1)若级数中没有负幂次项，则z0称为可去奇点： (2)若级数中只有有限个负幂次项，则z称为极点； (3)若级数中有无穷多个负幂次项，则z称为本性奇点
孤立奇点的分类 考虑 𝑓(𝑧) 在孤立奇点 𝑧0 的去心邻域内的 Laurent 级数 𝑓 𝑧 = 𝑛=−∞ +∞ 𝑐𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 = 𝑛=1 ∞ 𝑐−𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 + 𝑛=0 ∞ 𝑐𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 = ⋯ + 𝑐−2 𝑧 − 𝑧0 2 + 𝑐−1 𝑧 − 𝑧0 + 𝑐0 + 𝑐1 𝑧 − 𝑧0 + 𝑐2 𝑧 − 𝑧0 2 + ⋯ (1) 若级数中没有负幂次项，则 𝑧0 称为可去奇点； (2) 若级数中只有有限个负幂次项，则 𝑧0 称为极点； (3) 若级数中有无穷多个负幂次项，则 𝑧0 称为本性奇点．
孤立奇点举例 例1分析n严的奇点类型 解在0的去心邻域内 -6名+）1若+-2 00 (-1)n 22n n三0 该级数中没有负幂次项，故0是n的可去奇点
孤立奇点举例 例1 分析 sin 𝑧 𝑧 的奇点类型． 解 在 0 的去心邻域内 sin 𝑧 𝑧 = 1 𝑧 ⋅ 𝑧 − 𝑧 3 6 + ⋯ = 1 − 𝑧 2 6 + ⋯ = 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 2𝑛 + 1 ! 𝑧 2𝑛 该级数中没有负幂次项，故 0 是 sin𝑧 𝑧 的可去奇点．
孤立奇点举例 例2分析1和2作为 1 (2-10z-2) 的孤立奇点的类型 解在1的去心邻域内 a-Da-万=-∑-n 十00 1 n=-1 该级数只有一个负幂次项，故1是。-2-可 的极点，用类似的方法 可得，2也是2--可的极点. 注不能选取环域lz-1>1上的Laurent级数作为判别依据，因为 该环域不是1的去心邻域
孤立奇点举例 例2 分析 1 和 2 作为 1 𝑧−1 𝑧−2 的孤立奇点的类型． 解 在 1 的去心邻域内 1 (𝑧 − 1)(𝑧 − 2) = − 𝑛=−1 +∞ 𝑧 − 1 𝑛 , 该级数只有一个负幂次项，故 1 是 1 𝑧−1 𝑧−2 的极点，用类似的方法 可得，2 也是 1 𝑧−1 𝑧−2 的极点． 注 不能选取环域 𝑧 − 1 > 1 上的 Laurent 级数作为判别依据，因为 该环域不是 1 的去心邻域．
孤立奇点举例 例3分析zsin1的奇点类型. 解在0的去心邻域内 00 g2任a+）=1-应+= (-1)n1 (2n+1)！z2n m=0 该级数中有无穷多个负幂次项，故0是zsin三的本性奇点
孤立奇点举例 例3 分析 𝑧 sin 1 𝑧 的奇点类型． 解 在 0 的去心邻域内 𝑧 sin 1 𝑧 = 𝑧 ⋅ 1 𝑧 − 1 6𝑧 3 + ⋯ = 1 − 1 6𝑧 2 + ⋯ = 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 2𝑛 + 1 ! 1 𝑧 2𝑛 该级数中有无穷多个负幂次项，故 0 是 𝑧 sin 1 𝑧 的本性奇点．
03 PART 无穷远点的奇性
无穷远点的奇性 03 PART