目录》 01 积分的计算 CONTENTS 02 共形映照
目 录 CONTENTS 01 积分的计算 02 共形映照
01 PART 积分的计算
积分的计算 01 PART
计算积分的要点 判断积分是否有意义（敛散性) 判定是否可以使用留数定理，如可以应该使用哪个公式 在需要计算留数的奇点正确计算留数
计算积分的要点 • 判断积分是否有意义（敛散性） • 判定是否可以使用留数定理，如可以应该使用哪个公式 • 在需要计算留数的奇点正确计算留数
例题 例2以下积分是否收敛？如收敛是否可以使用留数定理计算？ 四兴2)2兴；(3)0张；④” 2元 dz z2+3z+2 1+cosz (924%；10)0品 2+cosz 解(1)和(2)都是函数沿闭曲线的复积分，其中(2)的被积函数在曲线上 有奇点，故该积分不收敛，(1)的被积函数的奇点不在曲线上，可以使用 留数定理
例题 例2 以下积分是否收敛？如收敛是否可以使用留数定理计算？ (1) =|��|2 d𝑧 𝑧−1 ；(2) =|��|2 d𝑧 𝑧+2 ；(3) 0 +∞ d𝑧 𝑧+1 ；(4) 0 +∞ d𝑧 𝑧 2+1 ； (5) 0 +∞ sin2𝑧 d𝑧 𝑧 4+1 ；(6) 0 +∞ cos 2𝑧 d𝑧 𝑧 2+3𝑧+2 ∞− (7； ( +∞ cos2𝑧 d𝑧 𝑧 2+2 ； (8) 0 2𝜋 d𝑧 1+cos𝑧 ； (9) 0 2𝜋 d𝑧 2+cos 𝑧 ； (10) 0 𝜋 d𝑧 1+sin𝑧 ． 解 (1) 和 (2) 都是函数沿闭曲线的复积分，其中 (2) 的被积函数在曲线上 有奇点，故该积分不收敛，(1) 的被积函数的奇点不在曲线上，可以使用 留数定理．
例题 (3)和（④都是有理函数的定积分，为“号k类型，其中(3）的 Q(z) 分母次数之比分子的高一次，故积分不收敛，(4)可以使用留数定理计 算. (5)-(7)都是有理函数与三角函数的乘积的定积分，三个被积函数的 有理函数的分母次数均高于分子，且在积分区间上没有奇点，从而都是 收敛的，但只有)是号em类型，可以直接使用留数定理计 算，(5)和(6)都不是上述类型，无法直接使用留数定理计算·
例题 (3) 和 (4) 都是有理函数的定积分，为 �� +∞ 𝑃(𝑧) 𝑄(𝑧) d𝑧 类型，其中 (3) 的 分母次数之比分子的高一次，故积分不收敛，(4) 可以使用留数定理计 算． (5)-(7) 都是有理函数与三角函数的乘积的定积分，三个被积函数的 有理函数的分母次数均高于分子，且在积分区间上没有奇点，从而都是 收敛的，但只有 (7) 是 ∞− +∞𝑃(𝑧) 𝑄(𝑧) 𝑒 𝑖𝑚𝑧d𝑧 类型，可以直接使用留数定理计 算， (5) 和 (6) 都不是上述类型，无法直接使用留数定理计算．