01 Fourier变换 目录》 02 Fourier变换的运算性质 CONTENTS 03 Fourier:逆变换
01 Fourier 变换 目 录 CONTENTS 02 Fourier 变换的运算性质 03 Fourier 逆变换
01 PART Fourier变换
Fourier 变换 01 PART
Fourier变换 定义对定义在(-∞，+∞)上的函数f(x),称关于实变量ω的函数 十00 fo）=∫fe)e-lwdx -00 为f(x)的Fourier变换，e-iwx称为Fourier变换的核
Fourier 变换 定义 对定义在 −∞, +∞ 上的函数 𝑓(𝑥)，称关于实变量 𝜔 的函数 𝑓መ 𝜔 = න −∞ +∞ 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑖𝜔𝑥d𝑥 为 𝑓(𝑥) 的 Fourier 变换，𝑒 −𝑖𝜔𝑥 称为 Fourier 变换的核 ．
注解 注1 Fourier变换将函数f(x)变换为f(w),因此Fourier变换可看作 函数到函数的映射.从映射的观点，称f(ω)为f(x)的像函数，f(x) 为f(ω)的原像函数. 注2并非对所有f(x),都可以定义f(ω)（定义式中的广义积分有可能 不收敛).若f(x)满足绝对可积条件，即1f(x)dx收敛，则f(ω) 对一切实变量ω有定义
注解 注1 Fourier 变换将函数 𝑓(𝑥) 变换为 𝑓መ 𝜔 ，因此 Fourier 变换可看作 函数到函数的映射．从映射的观点，称 𝑓መ 𝜔 为 𝑓(𝑥) 的像函数，𝑓 𝑥 为 𝑓መ 𝜔 的原像函数． 注2 并非对所有 𝑓(𝑥) ，都可以定义 𝑓መ 𝜔 （定义式中的广义积分有可能 不收敛）．若 𝑓(𝑥) 满足绝对可积条件，即 ∞− +∞ 𝑓(𝑥) d𝑥 收敛，则 𝑓መ 𝜔 对一切实变量 𝜔 有定义．
例题 例1求f(x)=e-lw的Fourier变换. 解根据定义， +0∞ fω)= -00 e(1-i@)xx=0 e-(1+i@)xx=+oo 1 2 1-iw 1+iw 1X三-00
例题 例1 求 𝑓 𝑥 = 𝑒 −|𝑥| 的 Fourier 变换． 解 根据定义， 𝑓መ 𝜔 = න −∞ +∞ 𝑒 − 𝑥 𝑒 −𝑖𝜔𝑥d𝑥 = න −∞ 0 𝑒 𝑥 𝑒 −𝑖𝜔𝑥d𝑥 + න 0 +∞ 𝑒 −𝑥 𝑒 −𝑖𝜔𝑥d𝑥 = อ 𝑒 1−𝑖𝜔 𝑥 1 − 𝑖𝜔 𝑥=−∞ 𝑥=0 − อ 𝑒 − 1+𝑖𝜔 𝑥 1 + 𝑖𝜔 𝑥=0 𝑥=+∞ = 1 1 − 𝑖𝜔 + 1 1 + 𝑖𝜔 = 2 1 + 𝜔2 ．