01 复变函数的导数 目录》 02 Cauchy-Riemann方程 CONTENTS 03 解析函数
01 复变函数的导数 目 录 CONTENTS 02 Cauchy-Riemann方程 03 解析函数
01 PART 复变函数的导数
复变函数的导数 01 PART
导数的定义 定义对定义在区域D内的函数f,如果极限 f(z+△z)-f(z) lim △z→0 △z 存在，则称f在点z可导，该极限称为f在点z的导数，记作'(z)或 出.f)可看作定义在使得f可导的点构成的集合上的函数.当f在 区域D内点点可导时，也称f在区域D内可导
导数的定义 定义 对定义在区域 𝐷 内的函数 𝑓，如果极限 lim Δ𝑧→0 𝑓 𝑧 + Δ𝑧 − 𝑓 𝑧 Δ𝑧 存在，则称 𝑓 在点 𝑧 可导，该极限称为 𝑓 在点 𝑧 的导数，记作 𝑓′(𝑧) 或 d𝑓 d𝑧 ．𝑓′(𝑧) 可看作定义在使得 𝑓 可导的点构成的集合上的函数．当 𝑓 在 区域 𝐷 内点点可导时，也称 𝑓 在区域 𝐷 内可导．
导数的运算性质 定理若函数f(z)在点zo可导，则f(z)在点zo连续. 定理若函数f(z)和g(z)都可导，则 (1)(f(z)±g(z)'=f'(z)±g(z); (2)对一切复常数c,(cf(z)'=cf'(z); (3)(f(z)g(z)'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z); ④若g②）+0，则(G%)'=@0gfag@ g2(z)
导数的运算性质 定理 若函数 𝑓(𝑧) 在点 𝑧0 可导，则 𝑓(𝑧) 在点 𝑧0 连续． 定理 若函数 𝑓(𝑧) 和 𝑔(𝑧) 都可导，则 (1) 𝑓 𝑧 ± 𝑔 𝑧 ′ = 𝑓′ 𝑧 ± 𝑔′ 𝑧 ； (2) 对一切复常数 𝑐， 𝑐𝑓 𝑧 ′ = 𝑐𝑓′ 𝑧 ； (3) 𝑓 𝑧 𝑔 𝑧 ′ = 𝑓′ 𝑧 𝑔 𝑧 + 𝑓(𝑧)𝑔′ 𝑧 ； (4) 若 𝑔 𝑧 ≠ 0，则 𝑓 𝑧 𝑔 𝑧 ′ = 𝑓 ′ 𝑧 𝑔 𝑧 −𝑓 𝑧 𝑔 ′ 𝑧 𝑔2 𝑧 ．
导数的运算性质 复合函数求导的链式法则若函数f(z)和g(z)都可导，且f(z)的值域 包含在g(a)的定义域中，则。g(f(z)=g'(f(z)f'(za)· 反函数求导法则设定义在区域D内的函数w=f(z)存在反函数z= pw),且fa)可导，则fa≠0，且p(w)=7d 注与实变量函数的反函数求导法则相比，“导数不等于零”由条件变为 结论，这一结论的证明需要用到Rouché定理.这一差别揭示了复变函 数可导包含了更丰富的内容
导数的运算性质 复合函数求导的链式法则 若函数 𝑓(𝑧) 和 𝑔(𝑧) 都可导，且 𝑓(𝑧) 的值域 包含在 𝑔(𝑧) 的定义域中，则 d d𝑧 𝑔 𝑓 𝑧 = 𝑔′ 𝑓 𝑧 𝑓′(𝑧)． 反函数求导法则 设定义在区域 𝐷 内的函数 𝑤 = 𝑓 𝑧 存在反函数 𝑧 = 𝜑 𝑤 ，且 𝑓 𝑧 可导，则 𝑓′ 𝑧 ≠ 0，且 𝜑′ 𝑤 = 1 𝑓′(𝜑 𝑤 ) ． 注 与实变量函数的反函数求导法则相比，“导数不等于零”由条件变为 结论，这一结论的证明需要用到 Rouché 定理．这一差别揭示了复变函 数可导包含了更丰富的内容．