目录》 01 级数及其应用 CONTENTS 02 奇点与留数
目 录 CONTENTS 01 级数及其应用 02 奇点与留数
01 PART 级数及其应用
级数及其应用 01 PART
例题 例1考虑Fibonacci数列ao=a1=1,an+2=an+1+an· (1)定义f(z)=∑%=0anz”,证明(1-z-z2)f(z)=1. (2)求Fibonacci数列的通项公式. 解(1)根据f(z)的定义 f(z)=a0+a1z+a2z2+…+anzn+… zf(Z)= a0z+a1z2+…+an+1zn+… 22f(z)= a0z2+…+an+2zn+… 根据递推公式，有(1-z-z2)f(z)=a0=1. (2)由（得f()=1-22,记1-z-z2的零点为z和2，则
例题 例1 考虑 Fibonacci 数列 𝑎0 = 𝑎1 = 1， 𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛 ． (1) 定义 𝑓 𝑧 = σ𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛𝑧 𝑛，证明 1 − 𝑧 − 𝑧 2 𝑓 𝑧 = 1． (2) 求 Fibonacci 数列的通项公式． 解 (1) 根据 𝑓 𝑧 的定义 𝑓 𝑧 = 𝑎0 + 𝑎1𝑧 + 𝑎2𝑧 2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑧 𝑛 + ⋯ 𝑧𝑓 𝑧 = 𝑎0𝑧 + 𝑎1𝑧 2 + ⋯ + 𝑎𝑛+1𝑧 𝑛 + ⋯ 𝑧 2𝑓 𝑧 = 𝑎0𝑧 2 + ⋯ + 𝑎𝑛+2𝑧 𝑛 + ⋯ 根据递推公式，有 1 − 𝑧 − 𝑧 2 𝑓 𝑧 = 𝑎0 = 1． (2) 由 (1) 得 𝑓 𝑧 = 1 1−𝑧−𝑧 2 ，记 1 − 𝑧 − 𝑧 2 的零点为 𝑧1 和 𝑧2，则
例题 C11 21 f(z)= C1C2= .十 Z-z Z2-Z 1之+ Z1 221-Z 00 00 n+1 n+1 1 +C2 n=0 n=0 于是根据幂级数的唯一性，有 n+1 )+c(因 1 m+1 an Ci 为求通项公式，只需计算C1,C2,z1和z2即可.易得 2s、 1±5 2—,C12二千
例题 𝑓 𝑧 = 𝐶1 𝑧1 − 𝑧 + 𝐶2 𝑧2 − 𝑧 = 𝐶1 𝑧1 1 1 − 𝑧 𝑧1 + 𝐶2 𝑧2 1 1 − 𝑧 𝑧2 = 𝑛=0 ∞ 𝐶1 𝑧1 𝑧 𝑧1 𝑛 + 𝑛=0 ∞ 𝐶2 𝑧2 𝑧 𝑧2 𝑛 = 𝑛=0 ∞ 𝐶1 1 𝑧1 𝑛+1 + 𝐶2 1 𝑧2 𝑛+1 𝑧 𝑛 . 于是根据幂级数的唯一性，有 𝑎𝑛 = 𝐶1 1 𝑧1 𝑛+1 + 𝐶2 1 𝑧2 𝑛+1 . 为求通项公式，只需计算 𝐶1，𝐶2，𝑧1 和 𝑧2 即可．易得 𝑧1|2 = −1 ± 5 2 ，𝐶1|2 = ∓ 1 5
例题 从而 11千V5 Z112 2 于是通项公式为 n+1 n+1 an 注本题的做法对一般的线性递推数列(an+2=pan+1+qan)都有效， 此时幂级数f(z)=∑m=0anzn称为数列{an}的母函数
例题 从而 1 𝑧1|2 = 1 ∓ 5 2 ， 于是通项公式为 𝑎𝑛 = 1 5 1 + 5 2 𝑛+1 − 1 5 1 − 5 2 𝑛+1 ． 注 本题的做法对一般的线性递推数列（𝑎𝑛+2 = 𝑝𝑎𝑛+1 + 𝑞𝑎𝑛）都有效， 此时幂级数 𝑓 𝑧 = σ𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛𝑧 𝑛 称为数列 𝑎𝑛 的母函数．