目录》 01 复平面上的曲线 CONTENTS 02 复平面上的区域
目 录 01 复平面上的曲线 CONTENTS 02 复平面上的区域
01 PART 复平面上的曲线
复平面上的曲线 01 PART
参数方程与曲线的方向 定义若平面点集可以表示为由区间【α，b]到复平面的连续映射下的像集 则该点集就称为一条平面曲线，该映射称为该曲线的一个参数方程.按 照参数的增大或减小的方向可给出曲线的方向，参数增大的方向为曲线 的正方向（默认），参数减小的方向为曲线的反方向. 例1自点z1到点z2的有向线段z(t)=z1+t(z2-21),t∈[0,1]· 21
参数方程与曲线的方向 定义 若平面点集可以表示为由区间 𝑎, 𝑏 到复平面的连续映射下的像集， 则该点集就称为一条平面曲线，该映射称为该曲线的一个参数方程．按 照参数的增大或减小的方向可给出曲线的方向，参数增大的方向为曲线 的正方向（默认），参数减小的方向为曲线的反方向． 例1 自点 𝑧1 到点 𝑧2 的有向线段 𝑧 𝑡 = 𝑧1 + 𝑡 𝑧2 − 𝑧1 ，𝑡 ∈ 0,1 ．
参数方程的不唯一性 注同一条平面曲线的参数方程表示不唯一 例2z(0)=z0+rei0,0∈[0,2m]和z(0)=z0+rei0,0∈[0,4π]都表 示以点zo为圆心，r为半径的圆周. 人
参数方程的不唯一性 注 同一条平面曲线的参数方程表示不唯一． 例2 𝑧 𝜃 = 𝑧0 + 𝑟𝑒 𝑖𝜃 ，𝜃 ∈ 0,2𝜋 和 𝑧 𝜃 = 𝑧0 + 𝑟𝑒 𝑖𝜃 ，𝜃 ∈ 0,4𝜋 都表 示以点 𝑧0 为圆心，𝑟 为半径的圆周．
曲线的切向量 定义若平面曲线可以表示为可导的参数方程（其导数称为该曲线的切向 量)，则该曲线称为光滑曲线.若平面曲线可以表示为除了有限个点以 外处处可导的参数方程，则该曲线称为逐段光滑曲线· 注本课程中研究的曲线，都是逐段光滑的 例3求有向线段z(t)=z1+t(z2-z1),t∈[0,1]的切向量. 解先将方程写为实形式 x(t)=x1+t(x2-x1) 求导数 x'(t)=x2-x1 y(t)=y1+t0y2-y1) y(t)=y2-y1 将导数写回复形式z(t)=z2-21·
曲线的切向量 定义 若平面曲线可以表示为可导的参数方程（其导数称为该曲线的切向 量），则该曲线称为光滑曲线．若平面曲线可以表示为除了有限个点以 外处处可导的参数方程，则该曲线称为逐段光滑曲线． 注 本课程中研究的曲线，都是逐段光滑的． 例3 求有向线段 𝑧 𝑡 = 𝑧1 + 𝑡 𝑧2 − 𝑧1 ，𝑡 ∈ 0,1 的切向量． 解 先将方程写为实形式 ൝ 𝑥 𝑡 = 𝑥1 + 𝑡(𝑥2 − 𝑥1) 𝑦 𝑡 = 𝑦1 + 𝑡(𝑦2 − 𝑦1) 求导数 ቊ 𝑥′ 𝑡 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑦′ 𝑡 = 𝑦2 − 𝑦1 将导数写回复形式 𝑧′ 𝑡 = 𝑧2 − 𝑧1 ．