目录》 01 Laurenta级数 CONTENTS 02 初等函数的Laurent级数
目 录 01 Laurent级数 CONTENTS 02 初等函数的Laurent级数
01 PART Laurent级数
Laurent 级数 01 PART
Laurent级数定理 定理设f(z)在环域r<|z-zo|<R内解析，则f(z)在该环域内可表示为 fa=】 Cn (z-20)n n=-00 该级数称f回该环域内的Laurent级数，这里6，=六dk,称为 f(z)在该环域内的Laurent系数，C为该环域内的任意一条简单光滑闭曲线
Laurent 级数定理 定理 设 𝑓(𝑧) 在环域 𝑟 < 𝑧 − 𝑧0 < 𝑅 内解析，则 𝑓(𝑧) 在该环域内可表示为 𝑓(𝑧) = 𝑛=−∞ +∞ 𝑐𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 该级数称 𝑓(𝑧) 该环域内的 Laurent 级数， 这里 𝑐𝑛 = 1 2𝜋i �� 𝑓 𝜁 𝜁−𝑧0 𝑛+1 d𝜁，称为 𝑓(𝑧) 在该环域内的 Laurent 系数，𝐶 为该环域内的任意一条简单光滑闭曲线．
注解 圆环的内半径可以是零，外半径可以是无穷大· Laurent级数是两个幂级数的和 + +0∞ +00 ∑6e-om=∑cg-on+∑ c-n (z-zo)-n n=-o n=0 n=1 Laurent级数有意义当且仅当两个幂级数都收敛.前一个级数的系数 决定收敛圆环的外半径，后一个级数的系数决定收敛圆环的内半径
注解 • 圆环的内半径可以是零，外半径可以是无穷大． • Laurent 级数是两个幂级数的和 𝑛=−∞ +∞ 𝑐𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 = 𝑛=0 +∞ 𝑐𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 + 𝑛=1 +∞ 𝑐−𝑛 𝑧 − 𝑧0 −𝑛 Laurent 级数有意义当且仅当两个幂级数都收敛．前一个级数的系数 决定收敛圆环的外半径，后一个级数的系数决定收敛圆环的内半径．
证明 对环域{r<|z-z0l<R)内任何一点z,取正数1,2使得r< n<lz-zol<2<R,由多连通区域上的Cauchy积分公式得， f0=品∫9-品∫9， 这里C1,C2分别为圆周|z-zo|=1和z-z0=2·注意到在C2上 烈<1，而在G上>1，从而在C2上 1 1 (z-zo)n ?-27-01-五 7一Z0 n=0
证明 对环域 {𝑟 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝑅} 内任何一点 𝑧，取正数 𝑟1, 𝑟2 使得 𝑟 < 𝑟1 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝑟2 < 𝑅，由多连通区域上的 Cauchy 积分公式得， 𝑓 𝑧 = 1 2𝜋i න 𝐶2 𝑓 𝜁 𝜁 − 𝑧 d𝜁 − 1 2𝜋i න 𝐶1 𝑓 𝜁 𝜁 − 𝑧 d𝜁 , 这里 𝐶1, 𝐶2 分别为圆周 𝑧 − 𝑧0 = 𝑟1 和 𝑧 − 𝑧0 = 𝑟2． 注意到在 𝐶2 上 𝑧−𝑧0 𝜁−𝑧0 < 1 ，而在 𝐶1 上 𝑧−𝑧0 𝜁−𝑧0 > 1，从而在 𝐶2 上 1 𝜁 − 𝑧 = 1 𝜁 − 𝑧0 ∙ 1 1 − 𝑧 − 𝑧0 𝜁 − 𝑧0 = 𝑛=0 ∞ 𝑧 − 𝑧0 𝑛 𝜁 − 𝑧0 𝑛+1