01 Taylor级数 目录》 02 初等函数的Taylor级数 CONTENTS 03 解析函数的零点
01 Taylor级数 目 录 CONTENTS 02 初等函数的Taylor级数 03 解析函数的零点
01 PART Taylor级数
Taylor级数 01 PART
Taylor级数定理 定理设f(z)在区域D内解析，zo为D内一点，则只要圆盘Iz-zol<R}c D,就有 00 fo)=∑ an (z-20)n n=0 在该圆盘内成立，其中an= m,称为fa在n点的Taylor系数，该 n! 幂级数称f(z)在zo点的Taylor级数
Taylor 级数定理 定理 设 𝑓(𝑧) 在区域 𝐷 内解析，𝑧0 为 𝐷 内一点，则只要圆盘 { 𝑧 − 𝑧0 < 𝑅} ⊂ 𝐷，就有 𝑓(𝑧) = 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 在该圆盘内成立，其中 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑛 𝑧0 𝑛! ，称为 𝑓(𝑧) 在 𝑧0 点的 Taylor 系数， 该 幂级数称 𝑓(𝑧) 在 𝑧0 点的 Taylor 级数．
证明 对圆盘z-zol<R)内任何一点z,取正数r使得|z-20l< r<R,记C为圆周I?-zol=r,由Cauchy积分公式得 注意到<1，从而 00 1 1 1 2-01- (2-z)m (-zo)n+ n=0 将上式右端代入积分得
证明 对圆盘 {|𝑧 − 𝑧0| < 𝑅} 内任何一点 𝑧，取正数 𝑟 使得 |𝑧 − 𝑧0| < 𝑟 < 𝑅，记 𝐶 为圆周 |𝜁 − 𝑧0| = 𝑟，由 Cauchy 积分公式得， 𝑓 𝑧 = 1 2𝜋i න 𝐶 𝑓 𝜁 𝜁 − 𝑧 d𝜁 , 注意到 𝑧−𝑧0 𝜁−𝑧0 < 1 ，从而 1 𝜁 − 𝑧 = 1 𝜁 − 𝑧0 ∙ 1 1 − 𝑧 − 𝑧0 𝜁 − 𝑧0 = 𝑛=0 ∞ 𝑧 − 𝑧0 𝑛 𝜁 − 𝑧0 𝑛+1． 将上式右端代入积分得
证明（续） 00 1 f(z)= f(3)(z-2o) 2ni (3-z0)n+1 d, n=0 交换积分与求和的次序，得到 00 n=0 器小以 f(3)(z-20)n 记 an= f() 《-2o)n+dk, 由导数公式，得an= f(n(zo) . 证毕 n!
证明（续） 𝑓 𝑧 = 1 2𝜋i න 𝐶 𝑛=0 ∞ 𝑓 𝜁 𝑧 − 𝑧0 𝑛 𝜁 − 𝑧0 𝑛+1 d𝜁 , 交换积分与求和的次序，得到 𝑓 𝑧 = 𝑛=0 ∞ 1 2𝜋i න 𝐶 𝑓 𝜁 𝑧 − 𝑧0 𝑛 𝜁 − 𝑧0 𝑛+1 d𝜁 = 𝑛=0 ∞ 1 2𝜋i න 𝐶 𝑓 𝜁 𝜁 − 𝑧0 𝑛+1 d𝜁 𝑧 − 𝑧0 𝑛 , 记 𝑎𝑛 = 1 2𝜋i න 𝐶 𝑓 𝜁 𝜁 − 𝑧0 𝑛+1 d𝜁, 由导数公式，得 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑛 𝑧0 𝑛! ． 证毕．