01 留数 目录》 02 无穷远点的留数 CONTENTS 03 留数定理
01 留数 目 录 CONTENTS 02 无穷远点的留数 03 留数定理
01 PART 留数
留数 01 PART
留数 定义设zo为函数f(z)的孤立奇点，C为Z的去心邻域内的任何一条围绕zo的 正向简单闭曲线，记 Bex/(.z）-arad, 称为f(z)在zo点的留数. 不难证明，留数不依赖于曲线C的选取
留数 定义 设 𝑧0 为函数 𝑓(𝑧) 的孤立奇点，𝐶 为 𝑧0 的去心邻域内的任何一条围绕 𝑧0 的 正向简单闭曲线，记 Res 𝑓 𝑧 , 𝑧0 = 1 2π𝑖 න 𝐶 𝑓 𝑧 d𝑧 , 称为 𝑓(𝑧) 在 𝑧0 点的留数． 不难证明，留数不依赖于曲线 𝐶 的选取．
两个常用的计算留数的命题 命题1Res(f(z),zo)恰为f(z)在zo的去心邻域内Laurent级数的-1 次项的系数，特别若zo为f(z)的可去奇点，则Res(f(z),zo)=0. 命题2若f)=。2%,这里9〔2)在z6点解析，m为正整数，则 Res(f(z),z)=gm(z (m-1)月
两个常用的计算留数的命题 命题1 Res(𝑓(𝑧), 𝑧0) 恰为 𝑓(𝑧) 在 𝑧0 的去心邻域内 Laurent 级数的 −1 次项的系数，特别若 𝑧0 为 𝑓(𝑧) 的可去奇点，则 Res 𝑓 𝑧 , 𝑧0 = 0． 命题2 若 𝑓(𝑧) = 𝑔 𝑧 𝑧−𝑧0 𝑚，这里 𝑔(𝑧) 在 𝑧0 点解析，𝑚 为正整数，则 Res 𝑓 𝑧 , 𝑧0 = 𝑔 𝑚−1 𝑧0 (𝑚−1)! ．
函数在极点的留数计算 公式1设函数f(z)= g( h(z) 这里g(z)与h(z)在zo点解析，h(z)以zo 为单零点，则Res(f(a),zo)= h'(zo) , 公式2设函数f(2)=g 这里g(z)与h(z)在zo点解析，h(z)以zo 为m重零点，则 1 dm-1 Res((z),2o）=m-gzm【e-2 o)mf(z)
函数在极点的留数计算 公式1 设函数 𝑓(𝑧) = 𝑔 𝑧 ℎ 𝑧 ，这里 𝑔(𝑧) 与 ℎ(𝑧) 在 𝑧0 点解析，ℎ(𝑧) 以 𝑧0 为单零点，则 Res 𝑓 𝑧 , 𝑧0 = 𝑔 𝑧0 ℎ′ (𝑧0) ． 公式2 设函数 𝑓(𝑧) = 𝑔 𝑧 ℎ 𝑧 ，这里 𝑔(𝑧) 与 ℎ(𝑧) 在 𝑧0 点解析，ℎ(𝑧) 以 𝑧0 为 𝑚 重零点，则 Res 𝑓 𝑧 , 𝑧0 = 1 𝑚 − 1 ! lim 𝑧→𝑧0 d m−1 d𝑧m−1 𝑧 − 𝑧0 𝑚𝑓(𝑧) ．