01 Laplace变换 目录》 02 Laplace变换的运算性质 CONTENTS 03 Laplace逆变换
01 Laplace 变换 目 录 CONTENTS 02 Laplace 变换的运算性质 03 Laplace 逆变换
01 PART Laplace变换
Laplace 变换 01 PART
Laplace变换 定义对定义在(0，+∞)上的函数f(t),称关于实变量s的函数 +00 F(=∫foea 为f(t)的Laplace变换，e-st称为Laplace变换的核，F(s)也记作 [f(t)]
Laplace 变换 定义 对定义在 0, +∞ 上的函数 𝑓(𝑡)，称关于实变量 𝑠 的函数 𝐹 𝑠 = න 0 +∞ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡d𝑡 为 𝑓(𝑡) 的 Laplace 变换，𝑒 −𝑠𝑡 称为 Laplace 变换的核，𝐹 𝑠 也记作 L 𝑓(𝑡) ．
注解 注1 Laplace变换将函数f(t)变换为F(s),因此Laplace变换也可看作函 数到函数的映射，称F(s)为f(t)的像函数，f(t)为F(s)的原像函数· 注2一般地，通过积分实现的函数到函数的映射 十00 f(t)F(s)= K(s,t)f(t)dt 统称为积分变换，K(s,t)称为积分变换的核.Fourier变换和Laplace变 换都是积分变换，选取不同的核，就得到不同的积分变换. 注3满足If(t川≤MeAt(M,A均为实常数)的函数就可以定义Laplace变 换，该条件比绝对可积条件弱得多.可以证明，此时像函数F(s)在区域 Res>A)上解析
注解 注1 Laplace 变换将函数 𝑓(𝑡) 变换为 𝐹 𝑠 ，因此 Laplace 变换也可看作函 数到函数的映射，称 𝐹 𝑠 为 𝑓(𝑡) 的像函数，𝑓 𝑡 为 𝐹 𝑠 的原像函数． 注2 一般地，通过积分实现的函数到函数的映射 𝑓 𝑡 ↦ 𝐹 𝑠 = න −∞ +∞ 𝐾 𝑠,𝑡 𝑓 𝑡 d𝑡 统称为积分变换，𝐾 𝑠,𝑡 称为积分变换的核．Fourier 变换和 Laplace 变 换都是积分变换，选取不同的核，就得到不同的积分变换． 注3 满足 𝑓 𝑡 ≤ 𝑀𝑒 𝐴𝑡 （𝑀, 𝐴 均为实常数）的函数就可以定义 Laplace 变 换，该条件比绝对可积条件弱得多．可以证明，此时像函数 𝐹 𝑠 在区域 Re 𝑠 > 𝐴 上解析．
例题 例1求f(t)=1的Laplace变换. 解根据定义，当Res>0时， +00 e-stt=too P=e=- 0 t=0 例2求f(t)=et的Laplace变换，这里au为复常数. 解根据定义，当Res>Rea时， +0∞ e-(s-ag)tt=+o∞ F(s)=& s-a s-a 0 三0
例题 例1 求 𝑓 𝑡 = 1 的 Laplace 变换． 解 根据定义，当 Re 𝑠 > 0 时， 𝐹 𝑠 = න 0 +∞ 𝑒 −𝑠𝑡d𝑡 = − อ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑠 𝑡=0 𝑡=+∞ = 1 𝑠 ． 例2 求 𝑓 𝑡 = 𝑒 𝛼𝑡 的 Laplace 变换，这里 𝛼 为复常数． 解 根据定义，当 Re 𝑠 > Re 𝛼 时， 𝐹 𝑠 = න 0 +∞ 𝑒 𝛼𝑡𝑒 −𝑠𝑡d𝑡 = − อ 𝑒 −(𝑠−𝛼)𝑡 𝑠 − 𝛼 𝑡=0 𝑡=+∞ = 1 𝑠 − 𝛼 ．