01 数列的极限 目录》 02 函数的极限 CONTENTS 03 连续函数
01 数列的极限 目 录 CONTENTS 02 函数的极限 03 连续函数
01 PART 数列的极限
数列的极限 01 PART
数列的极限 实数列情形对实数列{xn},若存在实常数xo,使得对任何ε>0，存在 N>0,使当n>N时，有|xn-xol<e,则称数列{xn}收敛或存在 极限，xo称为数列{xn}的极限，记为lim xn=xo· 复数列情形对复数列{zn},若存在复常数z0,使得对任何ε>0，存在 N>0,使当n>N时，有|zn-zol<e,则称数列{zn}收敛或存在 极限，zo称为数列{zn}的极限，记为lim Zn=z0·
数列的极限 实数列情形 对实数列 {𝑥𝑛}，若存在实常数 𝑥0，使得对任何 ε > 0，存在 𝑁 > 0，使当 𝑛 > 𝑁 时，有 |𝑥𝑛 − 𝑥0| < 𝜀，则称数列 {𝑥𝑛} 收敛或存在 极限，𝑥0 称为数列 {𝑥𝑛} 的极限，记为 lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝑥0． 复数列情形 对复数列 {𝑧𝑛}，若存在复常数 𝑧0，使得对任何 ε > 0，存在 𝑁 > 0，使当 𝑛 > 𝑁 时，有 |𝑧𝑛 − 𝑧0| < 𝜀，则称数列 {𝑧𝑛} 收敛或存在 极限，𝑧0 称为数列 {𝑧𝑛} 的极限，记为 lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 = 𝑧0．
数列极限的性质 定理设{zn}和{wn}为复数列，且极限1imzn和lim wn都存在，则 11→00 1m→00 (1)数列{zn}和{wn}均为有界的； (2)lim(zn±wn)=lim Zn±lim Wn,lim ZnWn=lim Zn·lim wni n-→0o n→0o n→00 n-→00 n-→00 (3)对-切复常数c,有lim cZn=c lim Zn; n-→00 n→00 (4)若1imzn≠0，则存在N>0,使当n>N时，有zn≠0，进一步， n-→00 n→oZn
数列极限的性质 定理 设 {𝑧𝑛} 和 {𝑤𝑛} 为复数列，且极限 lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 和 lim 𝑛→∞ 𝑤𝑛 都存在，则 (1) 数列 {𝑧𝑛} 和 {𝑤𝑛} 均为有界的； (2) lim 𝑛→∞ (𝑧𝑛 ± 𝑤𝑛) = lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 ± lim 𝑛→∞ 𝑤𝑛 ， lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛𝑤𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 ⋅ lim 𝑛→∞ 𝑤𝑛； (3) 对一切复常数 𝑐 ，有 lim 𝑛→∞ 𝑐𝑧𝑛 = 𝑐 lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛； (4) 若 lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 ≠ 0，则存在 𝑁 > 0，使当 𝑛 > 𝑁 时，有 𝑧𝑛 ≠ 0，进一步， lim 𝑛→∞ 1 𝑧𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 −1 ．
复数列极限的判定与计算 定理对复数列{zk},记xk=Rezk,yk=Imzk,Iim2n存在，当目仅 当lim xn和lim yn都存在，且lim Zn=lim xn+ilim yn· 证明只需注意到 max{lxn-xol,lyn-yol}s Izn -zol s Ixn -xol lyn -yol 即可
复数列极限的判定与计算 定理 对复数列 {𝑧𝑘}，记 𝑥𝑘 = Re 𝑧𝑘，𝑦𝑘 = Im 𝑧𝑘， lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 存在，当且仅 当 lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 和 lim 𝑛→∞ 𝑦𝑛 都存在，且 lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 + 𝑖 lim 𝑛→∞ 𝑦𝑛． 证明 只需注意到 max 𝑥𝑛 − 𝑥0 , 𝑦𝑛 − 𝑦0 ≤ 𝑧𝑛 − 𝑧0 ≤ 𝑥𝑛 − 𝑥0 + 𝑦𝑛 − 𝑦0 ， 即可．