01 有理函数的广义积分 目录》 02 有理函数的Fourier?型积分 CONTENTS 03 三个著名的广义积分
01 有理函数的广义积分 目 录 CONTENTS 02 有理函数的Fourier型积分 03 三个著名的广义积分
01 PART 有理函数的广义积分
有理函数的广义积分 01 PART
全实数轴上的广义积分 定理设P(z),Q(z)为实系数多项式，且degP(z)+1<degQ(z)(deg表示多项 式的次数)，Q(z)无实零点，则如下广义积分收敛，且 +00 ∫ P(x) (x) 这里，…，2k为Q(z)在上半平面内的零点全体
全实数轴上的广义积分 定理 设 𝑃 𝑧 , 𝑄 𝑧 为实系数多项式，且 deg 𝑃 𝑧 + 1 < deg 𝑄 𝑧 （deg 表示多项 式的次数），𝑄 𝑧 无实零点，则如下广义积分收敛，且 න −∞ +∞ 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 d𝑥 = 2𝜋𝑖 𝑗=1 𝑘 Res 𝑃 𝑧 𝑄 𝑧 , 𝑧𝑗 , 这里 𝑧1 , … , 𝑧𝑘 为 𝑄 𝑧 在上半平面内的零点全体．
证明 在上半平面内，取以原点为圆心R为半径的半圆域，使得Q(z)在 上半平面内的一切零点都包含在其中.记C取为上半平面内的半圆弧， 由留数定理得 中 k [P(x) Q(x) x+ Q) dz=2ni Res) -R CR 令R→+∞，只需证明等式左端第二个积分趋于0，即得结论· CR
证明 在上半平面内，取以原点为圆心 𝑅 为半径的半圆域，使得 𝑄 𝑧 在 上半平面内的一切零点都包含在其中．记 𝐶𝑅 为上半平面内的半圆弧， 由留数定理得 න −𝑅 𝑅 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 d𝑥 + න 𝐶𝑅 𝑃 𝑧 𝑄 𝑧 d𝑧 = 2𝜋𝑖 𝑗=1 𝑘 Res 𝑃 𝑧 𝑄 𝑧 , 𝑧𝑗 ． 令 𝑅 → +∞，只需证明等式左端第二个积分趋于 0，即得结论．
证明（续） 为证明这一结论，注意到对充分大的z,存在正数M,使得 aozm+a1zm-1+…+am b0zn+b1zn-1+…+bn 1 a0+a1z-1+…+anz-m M =zm-mb+b1z-1+…+bnz-n≤1☑p' 从而当R→+∞时， MπM ≤πR·R2=R →0
证明（续） 为证明这一结论，注意到对充分大的 𝑧 ，存在正数 𝑀，使得 𝑃 𝑧 𝑄 𝑧 = 𝑎0𝑧 𝑚 + 𝑎1𝑧 𝑚−1 + ⋯ + 𝑎𝑚 𝑏0𝑧 𝑛 + 𝑏1𝑧 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏𝑛 = 1 𝑧 𝑛−𝑚 ⋅ 𝑎0 + 𝑎1𝑧 −1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑧 −𝑚 𝑏0 + 𝑏1𝑧 −1 + ⋯ + 𝑏𝑛𝑧 −𝑛 ≤ 𝑀 𝑧 2 ， 从而当 𝑅 → +∞ 时， න 𝐶𝑅 𝑃 𝑧 𝑄 𝑧 d𝑧 ≤ 𝜋𝑅 ⋅ 𝑀 𝑅2 = 𝜋𝑀 𝑅 → 0．