目录》 01 复积分 CONTENTS 02 积分与路径的关系
目 录 01 复积分 CONTENTS 02 积分与路径的关系
01 PART 复积分
复积分 01 PART
复积分的定义 定义设C是区域D内一条有向简单曲线，起点为A,终点为B,f(z) 为定义在D内的函数.在C上依次插入分点 A=Z0,Z1,…,2n-1,Zn=B 将该曲线C分割成n个小弧段.在每个小弧段上任取一点记为？k(k= 1,2,,n),并记4zk=2Zk-Zk-1,1=max4zkl,则 ∫at=fKwa, 称为函数f(z)沿曲线C的复积分
复积分的定义 定义 设 𝐶 是区域 𝐷 内一条有向简单曲线，起点为 𝐴，终点为 𝐵，𝑓(𝑧) 为定义在 𝐷 内的函数．在 𝐶 上依次插入分点 𝐴 = 𝑧0，𝑧1，⋯，𝑧𝑛−1，𝑧𝑛 = 𝐵 将该曲线 𝐶 分割成 𝑛 个小弧段．在每个小弧段上任取一点记为 𝜁𝑘 (𝑘 = 1,2, ⋯ , 𝑛)，并记 𝛥𝑧𝑘 = 𝑧𝑘 − 𝑧𝑘−1，λ = max 𝑘 |𝛥𝑧𝑘|，则 න 𝐶 𝑓 𝑧 d𝑧 = lim 𝜆→0 𝑘=1 𝑛 𝑓 𝜁𝑘 Δ𝑧𝑘 称为函数 𝑓 𝑧 沿曲线 𝐶 的复积分．
复积分的基本性质 定理(1)Jc(f(z)+g(z)dz=Jcf(z)dz+cg(z)dz; (2)ccf(z)dz=ccf(z)dz,其中c为复常数； (3)若曲线C=CUC2,则∫cf(2)dz=c,f(2)dz+6,f(z)dz; (4)记C-为C的反向曲线，则c-f(z)dz=-cf(②)dz; (5)cf(z)dz≤elf()lldzl,这里ldzl=√dx2+dy2为弧长微元
复积分的基本性质 定理 (1) �� �� = ��d𝑓 𝑧 + 𝑔 𝑧 �� + ��d𝑓(𝑧) 𝑔(𝑧)d𝑧； �� (2( �� �� = ��d𝑐𝑓(𝑧) 𝑓(𝑧)d𝑧，其中 𝑐 为复常数； (3) 若曲线 𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2，则 �� 𝑓(𝑧)d𝑧 = ��1 𝑓(𝑧)d𝑧 + ��2 𝑓(𝑧)d𝑧； (4) 记 𝐶 − 为 𝐶 的反向曲线，则 (��)�� − ��d𝑧 = − �� 𝑓(𝑧)d𝑧； �� (5( �� ≥ ��d𝑓 𝑧 𝑓 𝑧 |d𝑧|，这里 d𝑧 = d𝑥 2 + d𝑦 2 为弧长微元．
复积分与实积分的关系 注1复积分可以转化为第二类曲线积分.若记f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 则 [a=-+s+u. 注2复积分可以转化为定积分.若曲线C存在光滑的参数表示z=z(t) (a≤t≤b),则 ∫Feoa:=faoou
复积分与实积分的关系 注1 复积分可以转化为第二类曲线积分．若记 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) ， 则 න 𝐶 𝑓 𝑧 d𝑧 = න 𝐶 𝑢d𝑥 − 𝑣d𝑦 + 𝑖 න 𝐶 𝑣d𝑥 + 𝑢d𝑦 ． 注2 复积分可以转化为定积分．若曲线 𝐶 存在光滑的参数表示 𝑧 = 𝑧 𝑡 (𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏)，则 න 𝐶 𝑓 𝑧 d𝑧 = න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑧 𝑡 𝑧′ 𝑡 d𝑡 ．