目录》 01 调和函数的定义 CONTENTS 02 调和函数的性质
目 录 01 调和函数的定义 CONTENTS 02 调和函数的性质
01 PART 调和函数的定义
调和函数的定义 01 PART
调和函数的定义 定义若定义在区域D内的二元实值函数H(x,y)二阶连续可导，且满足 ∂2H∂2H 0y2 =0, 则称H(x,y)为区域D内的调和函数. 注1记aH-装+票，其中4=积 + 称为Laplace算子. 02 注2在n维欧氏空间，定义△= a2,a2 十…十 称为n维 Laplace算子，从而也可定义n元调和函数
调和函数的定义 定义 若定义在区域 𝐷 内的二元实值函数 𝐻(𝑥, 𝑦) 二阶连续可导，且满足 𝜕 2𝐻 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2𝐻 𝜕𝑦 2 = 0， 则称 𝐻(𝑥, 𝑦) 为区域 𝐷 内的调和函数． 注1 记 𝚫𝐻 = 𝜕 2𝐻 𝜕𝑥2 + 𝜕 2𝐻 𝜕𝑦2，其中 𝚫 = 𝜕 2 𝜕𝑥2 + 𝜕 2 𝜕𝑦2 称为 Laplace 算子． 注2 在 𝑛 维欧氏空间，定义 𝚫 = 𝜕 2 𝜕𝑥1 2 + 𝜕 2 𝜕𝑥2 2 + ⋯ + 𝜕 2 𝜕𝑥𝑛 2， 称为 𝑛 维 Laplace 算子，从而也可定义 𝑛 元调和函数．
解析函数与调和函数 定理函数f(z)在区域D内解析，则其实部u(x,y)和虚部v(x,y)均在 D内调和，其中v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数. 证明因f(z)解析，故无穷次可导，从而其实部u(x,y)和虚部v(x,y) 也无穷次可偏导.再由Cauchy-Riemann方程 △u= 品 =0; △ =0. 问题对区域D内的调和函数u(x,y),是否存在其共轭调和函数v(x,y)?
解析函数与调和函数 定理 函数 𝑓(𝑧) 在区域 𝐷 内解析，则其实部 𝑢(𝑥, 𝑦) 和虚部 𝑣(𝑥, 𝑦) 均在 𝐷 内调和，其中 𝑣(𝑥, 𝑦) 称为 𝑢(𝑥, 𝑦) 的共轭调和函数． 证明 因 𝑓(𝑧) 解析，故无穷次可导，从而其实部 𝑢(𝑥, 𝑦) 和虚部 𝑣(𝑥, 𝑦) 也无穷次可偏导．再由 Cauchy-Riemann 方程， 𝚫𝑢 = 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑦 − 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 0； 𝚫𝑣 = 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 0． 问题 对区域 𝐷 内的调和函数 𝑢(𝑥, 𝑦)，是否存在其共轭调和函数 𝑣(𝑥, 𝑦)？
共轭调和函数的存在性 定理对单连通区域D内的调和函数u(x,y),其共轭调和函数v(x,y) 存在，即存在在区域D内解析的函数f(z),使得u(x,y)=Ref(z)· 证明考虑一阶微分式-uydx+uxdy,因u(x,y)在单连通区域D内调 和，从而-4ydx+uxdy在D内积分与路径无关，从而可定义 (x,y) vx)=∫-山ydx+udy, (xo.Yo) 其中(xoyo)为D内一固定点.此时v(x,y)可微且dv=-uvdx+ uxdy,即y=ux,x=-y,Cauchy-Riemann方程成立，从而 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析
共轭调和函数的存在性 定理 对单连通区域 𝐷 内的调和函数 𝑢(𝑥, 𝑦)，其共轭调和函数 𝑣(𝑥, 𝑦) 存在，即存在在区域 𝐷 内解析的函数 𝑓(𝑧)，使得 𝑢 𝑥, 𝑦 = Re 𝑓(𝑧)． 证明 考虑一阶微分式 −𝑢𝑦d𝑥 + 𝑢𝑥d𝑦，因 𝑢(𝑥, 𝑦) 在单连通区域 𝐷 内调 和，从而 −𝑢𝑦d𝑥 + 𝑢𝑥d𝑦 在 𝐷 内积分与路径无关，从而可定义 𝑣 𝑥, 𝑦 = න 𝑥0,𝑦0 𝑥,𝑦 −𝑢𝑦d𝑥 + 𝑢𝑥d𝑦 ， 其中 𝑥0, 𝑦0 为 𝐷 内一固定点．此时 𝑣 𝑥, 𝑦 可微且 d𝑣 = −𝑢𝑦d𝑥 + 𝑢𝑥d𝑦，即 𝑣𝑦 = 𝑢𝑥，𝑣𝑥 = −𝑢𝑦，Cauchy-Riemann 方程成立，从而 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) 在 𝐷 内解析．