目录》 01 导数的几何意义 CONTENTS 02 几种特殊的共形映照
目 录 CONTENTS 01 导数的几何意义 02 几种特殊的共形映照
01 PART 导数的几何意义
导数的几何意义 01 PART
导数与反函数 对实变量函数f(x),若f(x)连续可导且f'(xo)≠0，则f(x)局 部单调，从而局部存在反函数.反之不成立！（即f(x)局部单 调，但f'(xo)有可能为零，例如f(x)=x3) 。 对复变量函数f(z),若f(z)解析且f'(zo)≠0，则局部存在反函 数.反之也成立！
导数与反函数 • 对实变量函数 𝑓(𝑥)，若 𝑓(𝑥) 连续可导且 𝑓′ 𝑥0 ≠ 0，则 𝑓(𝑥) 局 部单调，从而局部存在反函数． 反之不成立！（即 𝑓(𝑥) 局部单 调，但 𝑓′ 𝑥0 有可能为零，例如 𝑓 𝑥 = 𝑥 3） • 对复变量函数 𝑓(𝑧)，若 𝑓(𝑧) 解析且 𝑓′ 𝑧0 ≠ 0，则局部存在反函 数． 反之也成立！
例子 考虑f(z)=z3,其导数f(z)=3z2. 当z≠0时，f'(z)≠0，总可以取到z的充分小的邻域U,使得 在U中，任意两个数的幅角之差都小于？，这样在U内只要a≠ 2,就有f(21)≠f(22),即在U内f可定义反函数. 当z=0时，f'(0)=0,此时无论如何取z的邻域U,在U中， 总能找到两个数21,22（事实上可以找到无穷多对这样的数)， 两数的模相同且幅角之差恰为；，这样就有f(2)=f(22),即在 0的任何邻域内f都不可定义反函数
例子 考虑 𝑓 𝑧 = 𝑧 3，其导数 𝑓′ 𝑧 = 3𝑧 2． • 当 𝑧 ≠ 0 时，𝑓′ 𝑧 ≠ 0，总可以取到 𝑧 的充分小的邻域 𝑈，使得 在 𝑈 中，任意两个数的幅角之差都小于 π 3 ，这样在 𝑈 内只要 𝑧1 ≠ 𝑧2，就有 𝑓(𝑧1) ≠ 𝑓(𝑧2)，即在 𝑈 内 𝑓 可定义反函数． • 当 𝑧 = 0 时，𝑓′ 0 = 0，此时无论如何取 𝑧 的邻域 𝑈，在 𝑈 中， 总能找到两个数 𝑧1，𝑧2（事实上可以找到无穷多对这样的数）， 两数的模相同且幅角之差恰为 π 3，这样就有 𝑓 𝑧1 = 𝑓(𝑧2)，即在 0 的任何邻域内 𝑓 都不可定义反函数．
导数的几何意义 若函数f(z)在区域D内解析且非常值，则f将D映射为区域！ 若函数f(z)在区域D内解析且f'(zo)≠0，则存在zo的某个邻 域UcD,f将U一映射为区域f(U!特别将U内的任何一 条简单曲线，映为f(U)内的一条简单曲线. w=f(2)
导数的几何意义 • 若函数 𝑓(𝑧) 在区域 𝐷 内解析且非常值，则 𝑓 将 𝐷 映射为区域！ • 若函数 𝑓(𝑧) 在区域 𝐷 内解析且 𝑓′ 𝑧0 ≠ 0，则存在 𝑧0 的某个邻 域 𝑈 ⊂ 𝐷， 𝑓 将 𝑈 一一映射为区域 𝑓(𝑈)！特别将 𝑈 内的任何一 条简单曲线，映为 𝑓(𝑈) 内的一条简单曲线．