目录》 01 复数项级数 CONTENTS 02 幂级数
目 录 CONTENTS 01 复数项级数 02 幂级数
01 PART 复数项级数
复数项级数 01 PART
复数项级数 定义对复数列{zk},令Sn=z1+z2+…+zn为数列{zk}的前n项之 和，记 00 Zk =lim Sn n→00 称为级数，Sn称为级数∑=1zk的部分和.若极限lim Sn存在，则称 11900 级数=1zk收敛，否则称级数∑=1Zk发散·
复数项级数 定义 对复数列 {𝑧𝑘}，令 𝑆𝑛 = 𝑧1 + 𝑧2 + ⋯ + 𝑧𝑛 为数列 {𝑧𝑘} 的前 𝑛 项之 和，记 𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 = lim 𝑛→∞ 𝑆𝑛 称为级数，𝑆𝑛 称为级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 的部分和．若极限 lim 𝑛→∞ 𝑆𝑛 存在，则称 级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 收敛，否则称级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 发散．
复数项级数敛散性判定 定理对复数列{zk},记xk=Re2k,yk=Imzk,级数∑=12k收敛， 当且仅当级数∑1xk和∑=1yk都收敛. 级数收敛的必要条件若复数项级数=1zk收敛，则1im2k=0. 级数收敛的充分条件对复数项级数=12k,若正项级数∑=1zk收 敛，则级数∑=12k收敛（此时称该级数绝对收敛)·
复数项级数敛散性判定 定理 对复数列 {𝑧𝑘}，记 𝑥𝑘 = Re 𝑧𝑘，𝑦𝑘 = Im 𝑧𝑘，级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 收敛， 当且仅当级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑥𝑘 和 σ𝑘=1 ∞ 𝑦𝑘 都收敛． 级数收敛的必要条件 若复数项级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 收敛，则 lim 𝑘→∞ 𝑧𝑘 = 0． 级数收敛的充分条件 对复数项级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 ，若正项级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 收 敛，则级数 σ𝑘=1 ∞ 𝑧𝑘 收敛（此时称该级数绝对收敛）．
例题 例1判别等比级数∑=0zk的敛散性（约定z°=1）· 解当|z≥1时，1imzk≠0，从而级数∑=ozk发散. 当|z<1时，0zk收敛，从而级数∑ozk收敛.进一步，因 5*1 k=0 故当|z<1时， zk lim 1-zn 1 →0∞1-z
例题 例1 判别等比级数 σ𝑘=0 ∞ 𝑧 𝑘 的敛散性（约定 𝑧 0 = 1）． 解 当 𝑧 ≥ 1 时，lim 𝑘→∞ 𝑧 𝑘 ≠ 0，从而级数 σ𝑘=0 ∞ 𝑧 𝑘 发散． 当 𝑧 < 1 时，σ𝑘=0 ∞ 𝑧 𝑘 收敛，从而级数 σ𝑘=0 ∞ 𝑧 𝑘 收敛．进一步，因 𝑆𝑛 = 𝑘=0 𝑛 𝑧 𝑘 = 1 − 𝑧 𝑛 1 − 𝑧 , 故当 𝑧 < 1 时， 𝑘=0 ∞ 𝑧 𝑘 = lim 𝑛→∞ 1 − 𝑧 𝑛 1 − 𝑧 = 1 1 − 𝑧 ．