01 Cauchy-Goursat公式 目录》 02 Cauchy积分公式 CONTENTS 03 Cauchy高阶导数公式
01 Cauchy-Goursat公式 目 录 CONTENTS 02 Cauchy 积分公式 03 Cauchy 高阶导数公式
01 PART Cauchy-Goursat公式
Cauchy-Goursat 公式 01 PART
Cauchy-Goursat公式 定理设D为有界区域,其边界∂D由有限条互不相交的逐段光滑的简 单闭曲线构成,函数f在D内解析并连续到边界,则 f(z)dz=0, JaD 这里0D取正向. 推论若函数f在单连通区域内解析,则f在该区域内的复积分与路径 无关,从而f在该区域内存在原函数. 证明因单连通区域内的任何一条简单闭曲线,其内部区域必包含于该单 连通区域内,故由Cauchy-Goursat公式,f沿该区域内任何闭曲线 的积分为零,从而结论成立·
Cauchy-Goursat 公式 定理 设 𝐷 为有界区域,其边界 𝜕𝐷 由有限条互不相交的逐段光滑的简 单闭曲线构成,函数 𝑓 在 𝐷 内解析并连续到边界,则 න 𝜕𝐷 𝑓 𝑧 d𝑧 = 0, 这里 𝜕𝐷 取正向. 推论 若函数 𝑓 在单连通区域内解析,则 𝑓 在该区域内的复积分与路径 无关,从而 𝑓 在该区域内存在原函数. 证明 因单连通区域内的任何一条简单闭曲线,其内部区域必包含于该单 连通区域内,故由 Cauchy-Goursat 公式, 𝑓 沿该区域内任何闭曲线 的积分为零,从而结论成立.
注解 注若f(z)的导数连续,则根据Green公式以及Cauchy-Riemann方 程,有 nFro出=ad-时+itr+ad ap aD =-厂a,+owa+ia-d=0. Goursat证明了导数连续的条件是不需要的,该证明超出本课程范围, 略去
注解 注 若 𝑓 𝑧 的导数连续,则根据 Green 公式以及 Cauchy-Riemann 方 程,有 න 𝜕𝐷 𝑓 𝑧 d𝑧 = න 𝜕𝐷 𝑢d𝑥 − 𝑣d𝑦 + 𝑖 න 𝜕𝐷 𝑣d𝑥 + 𝑢d𝑦 = − න 𝐷 (𝑢𝑦+𝑣𝑥)d𝑥d𝑦 + 𝑖 න 𝐷 𝑢𝑥 − 𝑣𝑦 d𝑥d𝑦 = 0. Goursat 证明了导数连续的条件是不需要的,该证明超出本课程范围, 略去.
02 PART Cauchy积分公式
Cauchy 积分公式 02 PART