江画工太猩院 第六节 偏导数的几何应用(二) 方向导数与梯度
江西理工大学理学院 第六节 偏导数的几何应用 ( 二 ) 方向导数与梯度
江西理工大学理学院 曲面的切平面与法线 设曲面方程为 F(x,y,)=0 在曲面上任取一条通 过点M的曲线 x=() T: y=(t),x 曲线在M处的切向量T={(),),)
江西理工大学理学院 设曲面方程为 F(x, y,z) = 0 { ( ), ( ), ( )}, 0 0 0 T = φ′ t ψ′ t ω′ t r 曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通 过点M的曲线 , ( ) ( ) ( ) : ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = = Γ z t y t x t ω ψ φ 一、曲面的切平面与法线 n r T r M
江画工太猩院 令n={ x(0y0940 y(090,409 ,F2(x0,y,0 则nT,由于曲线是曲面上通过M的任意一 条曲线,它们在M的切线都与同一向量垂直, 故曲面上通过M的一切曲线在点M的切线都在 同一平面上,这个平面称为曲面在点M的切平面 切平面方程为 F(os Jo,0(x-x0+F(o,yo, 0(y-yo) +F2(x2y,)z-)=0
江西理工大学理学院 { ( , , ), ( , , ), ( , , )} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z = x y z r 令 则 n T, r r ⊥ 由于曲线是曲面上通过M 的任意一 条曲线，它们在M 的切线都与同一向量nr垂直， 故曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在 同一平面上，这个平面称为曲面在点M的切平面. 切平面方程为 ( , , )( ) 0 ( , , )( ) ( , , )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + − = − + − F x y z z z F x y z x x F x y z y y z x y
江画工太猩院 通过点M(x,y,0)而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线 法线方程为 x-x y x-40 x(“05y0560 y(000 05y0540 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M处的法向量即 五={F2(xy,F(x0,,列,F2(x,y,项
江西理工大学理学院 通过点 ( , , ) 0 0 0 M x y z 而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线. 法线方程为 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F x y z z z F x y z y y F x y z x x x y z − = − = − { ( , , ), ( , , ), ( , , )} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z = x y z r 曲面在M处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量
江画工太猩院 特殊地:空间曲面方程形为z=f(x,y) 令F(x,y,z)=f(x,y)-z, 曲面在M处的切平面方程为 ∫(x,y(x-x)+f(x,)(y-)=z-, 曲面在M处的法线方程为 x-0y-y3= ∫(x,y)f,)-1
江西理工大学理学院 特殊地：空间曲面方程形为 z = f ( x , y ) 曲面在 M处的切平面方程为 ( , )( ) ( , )( ) , 0 0 0 0 0 0 0 f x y x x f x y y y z z x − + y − = − 曲面在 M处的法线方程为 . ( , ) ( , ) 1 0 0 0 0 0 0 0 − − = − = − z z f x y y y f x y x x x y 令 F ( x , y , z ) = f ( x , y ) − z