江画工太猩院 第七节 多元画嘏值 及其应用
江西理工大学理学院 第七节 多元函数极值 及其应用
江西理工大学理学院 、问题的提出 实例:某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每 瓶进价1元,外地牌子每瓶进价1.2元,店主估 计,如果本地牌子的每瓶卖x元,外地牌子的 每瓶卖y元,则每天可卖出70-5x+4y瓶本 地牌子的果汁,80+6x-7y瓶外地牌子的果汁 问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益? 每天的收益为f(x,y) x-1(70-5x+4y)+(y-12)(80+6x-7y) 求最大收益即为求二元函数的最大值
江西理工大学理学院 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价 1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的 每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本 地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？ x y 70 − 5 x + 4 y 80 + 6 x − 7 y 每天的收益为 f ( x , y ) = ( x − 1)(70 − 5 x + 4 y ) + ( y − 1 . 2)(80 + 6 x − 7 y ) 求最大收益即为求二元函数的最大值 . 一、问题的提出
江画工太猩院 、多元函数的极值和最值 观察二元函数z=的图形 x ty
江西理工大学理学院 二、多元函数的极值和最值 观察二元函数 x 2 y 2 的图形 e xy z + = − 播放播放
江画工太猩院 二元函数极值的定义 设函数z=∫(x,y)在点(x1,y0)的某邻域内 有定义,对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y) 若满足不等式∫(x,y)<f(x,),则称函数 在(x13yn)有极大值;若满足不等式 f(x,y)>∫(x1,yn),则称函数在(x,y)有极 小值 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点
江西理工大学理学院 设函数z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( , ) 0 0 x y 的点(x, y)： 若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y < f x y ，则称函数 在 ( , ) 0 0 x y 有极大值；若满足不等 式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y > f x y ，则称函数在( , ) 0 0 x y 有极 小值； 1、二元函数极值的定义 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点
江画工太猩院 例1函数z=3x2+4y2 在(0,0)0处有极小值 例2函数z=-x2+y2 在(,0)处有极大值 例3函数z=x (3) 在(,0)处无极值
江西理工大学理学院 (1) (2) (3) 例1 在 处有极小值． 函数 (0,0) 3 4 2 2 z = x + y 例２ 在 处有极大值． 函数 (0,0) 2 2 z = − x + y 例３ 在 处无极值． 函数 (0,0) z = xy