江画工太猩院 第六节 重积分的应用
江西理工大学理学院 第六节 重积分的应用
江西理工大学理学院 一、问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相 应地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并 且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域do 时,相应地部分量可近似地表示为f(x,y)do的 形式,其中(x,y)在do内这个f(x,y)do称为 所求量U的元素,记为dU,所求量的积分表达式 为 =f(x,)do D
江西理工大学理学院 一、问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. dσ dσ f (x, y)dσ (x, y) f (x, y)dσ 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相 应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并 且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的 形式，其中 在 内．这个 称为 所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式 为 ∫∫ = D U f (x, y)dσ dU
江画工太猩院 二、曲面的面积 实例一颗地球的同步轨道通讯 卫星的轨道位于地球的赤道平面 卫星 内,且可近似认为是圆轨道.通 讯卫星运行的角速率与地球自转 的角速率相同,即人们看到它在 天空不动.若地球半径取为R 问卫星距地面的高度h应为多少? 通讯卫星的覆盖面积是多大?
江西理工大学理学院 实例 一颗地球的同步轨道通讯 卫星的轨道位于地球的赤道平面 内，且可近似认为是圆轨道．通 讯卫星运行的角速率与地球自转 的角速率相同，即人们看到它在 天空不动．若地球半径取为R， 问卫星距地面的高度h应为多少？ 通讯卫星的覆盖面积是多大？ 二、曲面的面积 卫星 h o x z
江画工太猩院 1.设曲面的方程为:z=f(x,y) 在xOy面上的投影区域为D, 如图,设小区域dG∈D, M 点(x,y)∈do, ∑为S上过M(x,y,f(x,y) y u,y) do 的切平面 以do边界为准线,母线平行于z轴的小 柱面,截曲面s为ds;截切平面∑为lA, 则有dA≈ds
江西理工大学理学院 １．设曲面的方程为： z = f ( x , y ) 在 xoy 面上的投影区域为 D , 设小区域 dσ ∈ D , 点 ( x , y ) ∈ dσ , . ( , , ( , )) 的切平面 Σ 为 S 上过 M x y f x y dA ds . s ds dA d z ≈ Σ σ 则有 柱面，截曲面 为 ；截切平面 为 ， 以 边界为准线，母线平行 于 轴的小 如图， dσ ( x, y ) M dA x y z s Σ o γ
江画工太猩院 d为l在xop面上的投影,;l=dA·cosy, 1 dA=1+f2+f2d曲面S的面积元素 A=1+f2+d 曲面面积公式为:A +()2+()ddy D
江西理工大学理学院 Qdσ 为 dA 在 xoy 面上的投影, ∴ dσ = dA⋅ cosγ , , 1 1 cos 2 2 x y + f + f Q γ = ∴dA = + f x + f y dσ 2 2 1 1 , 2 2 ∫∫ ∴ = + + D A f x f y dσ 曲面S的面积元素 曲面面积公式为：A dxdy Dxy y z x z ∫∫ ∂∂ ∂∂ = + +2 2 1 ( ) ( )