江西理工大学理学院 第五节 利用柱面坐标与球面 坐标计算三重积分
江西理工大学理学院 第五节 利用柱面坐标与球面 坐标计算三重积分
江画工太猩院 利用柱面坐标计算三重积分 设M(x,p,)为空间内一点,并设点M在 xOy面上的投影P的极坐标为r,G,则这样的三 个数r,,z就叫点M的柱面坐标 规定:0≤r<+0, M(x, y, z) 0≤0≤2π, y 00<Z<+0 P(,)
江西理工大学理学院 0 ≤ r < +∞, 0 ≤ θ ≤ 2π, − ∞ < z < +∞. 一、利用柱面坐标计算三重积分 个数 就叫点 的柱面坐标． 面上的投影 的极坐标为 ，则这样的三 设 为空间内一点，并设点 在 r z M xoy P r M x y z M , , , ( , , ) θ θ 规定： x y z o M(x, y,z) P(r,θ ) θ r • •
江画工太猩院 如图,三坐标面分别为 r为常数=→圆柱面; 为常数一>半平面; Mx, y, 2) z为常数→平面 柱面坐标与直角坐 标的关系为 8(, 0) y x=rose y=rsin 6 =7
江西理工大学理学院 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = . sin , cos , z z y r x r θ θ 柱面坐标与直角坐 标的关系为 r 为常数 z 为常数 θ 为常数 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面． • M ( x, y,z ) P ( r,θ ) • θ r z x y z o
江画工太猩院 如图,柱面坐标系 中的体积元素为 rde dv= rdrdedz, (x, y, e )dxdyo de Q 「 f(rcos8, rsin 8, z)rdrdBdz. Q
江西理工大学理学院 ∫∫∫ Ω ∴ f (x, y,z)dxdydz ( cos , sin , ) . ∫∫∫ Ω = f r θ r θ z rdrdθdz dθ r x y z o dz dr rdθ 如图，柱面坐标系 中的体积元素为 dv = rdrdθdz
江画工太猩院 例1计算/=dz,其Q是球面 x2+y2+x=4与抛物面x2+y2=3z 所围的立体 x三rcos 解由{y=rn,知交线为 =2 +x2=4 →z=1,r=√3, r2=3z
江西理工大学理学院 例1 计算 ∫∫∫ Ω I = zdxdydz，其中 Ω是球面 4 2 2 2 x + y + z = 与抛物面 x y 3 z 2 2 + = 所围的立体 . 解 由 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = z z y r x r θ θ sin cos , ⎩ ⎨ ⎧ = + = r z r z 3 4 2 2 2 ⇒ z = 1 , r = 3 , 知交线为