山东农业大 主计 苏本堂 第三章微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 泰勒公式 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节 函数的极值与最大值最小值 第六节 函数图形的描绘 第七节 曲率
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第三章 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 泰勒公式 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节 函数的极值与最大值最小值 第七节 曲率 第六节 函数图形的描绘
第一节 微分中值定理 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第一节 微分中值定理 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理
苏本堂 一、罗尔(Rolle)定理 费马(ferma)引理 y=f)在U(o)有定义，三f(o)=0 且f(x)≤f(xo),∫'(xo)存在 (或≥) 证：设V0+△r∈U(xo),f(x0+△r)≤f(xo), (xo)=lim fo+Av)-f(xo) △x→0 △x 「'(xo)≥0（△x→0） >f'(xo)=0 f(xo)≤0（△x→0*） 毕
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 且 存在 (或) 证: 设 则 0 0 x y o 0 x 证毕
罗尔（Rolle)定理 y=f(x)满足： y=f(x) (1)在区间[a,b]上连续 B (2)在区间(a,b)内可导 (3)f(a)=f(b) >在(a,b)内至少存在一点5，使f'(5)=0 证：因f(x)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值 M和最小值m. 若M=m,则f(x)=M,x∈[a,b], 因此5∈(a,b),f'(5)=0
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 罗尔（ Rolle ）定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 f () = 0. 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点
11。 若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等， 不妨设M≠f(a),则至少存在一点5∈(a,b),使 f(5)=M,则由费马引理得f'(5)=0. 注意： 1)定理条件条件不全具备，结论不一定成立.例如， x=1 f(x)= f(x)=x x∈[-1,1] x∈[0,1] 2)通常称导数为零的点为函数的驻点（或稳定点)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 f () = 0. 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 1 x y o 则由费马引理得 1 x y −1 o 1 x y o 2) 通常称导数为零的点为函数的驻点（或稳定点）