《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）函数的求导法则

山东农业大 率数学 主计 方本堂 §2.2函数的求导法则 函数的和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 §2.2 函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式

一、 四则运算求导法则 定理1.函数u=u(x)及v=v(x)都在x具有导数 则()及v()的和、差、积、商（除分母 为0的点外)都在点x可导，且 (I)[u(x)±v(x)]'='(x)士v'(x)→ (2)[(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)→ [g u(x)v(x)-u(x)v(x) (v(x)≠0)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、四则运算求导法则 定理1. 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 (v(x)  0) 则

主计 方本堂 (I)(u±v)'=±y' 证：设f(x)=(x)士v(x),则 f'(x)=lim f(x+h)-f(x) h-0 h [u(x+h)±v(x+h)]-[u(x)±v(x)] h-→0 h lim 4(x+h)-()±im v(x+h)-v(x) h→0 h h-→>0 h =u'(x)±v'(x) 故结论成立 此法则可推广到任意有限项的情形.例如， 例如，(u+v-w)'=u+v'-w 返回

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 , 则 (1) (u  v) = u  v  f (x) = u(x)  v(x) h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h u x h v x h u x v x h [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 +  + −  = → h u x h u x h ( ) ( ) lim 0 + − = → h v x h v x h ( ) ( ) lim 0 + −  → = u (x)  v (x) 故结论成立. 例如, 返回

(2) (uv)'=uv+uv' 证：设f(x)=u(x)v(x),则有 f')=lim+分-f)=lim (x+h)v(x+h)-u(x)v(x) h-→0 h h-→0 h ((x)+△W)v(x)+△v)-u(x)v(x) =lim h->0 h △u△y =lim △uw(x) +lim u(x)Av+lim h→0 h h-→0 h -→0 h =u'(x)v(x)+u(x)p'(x) 故结论成立. 推论：1)(Cu)'=Cu(C为常数) 2)(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw' 返回

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (2) (uv) = u  v +uv  证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h u x h v x h u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − = → 故结论成立. = u (x)v(x) + u(x)v (x) 推论: 1) (Cu ) = 2) (uvw) = Cu  u  vw+ uv  w+ uvw  ( C为常数 ) 0 ( ( ) )( ( ) ) ( ) ( ) lim h u x u v x v u x v x → h +  +  − = 0 ( ) lim h uv x → h  = 0 ( ) lim h u x v → h  + 0 lim h u v → h   + 返回

苏本 求导法则： (utvy=utv,(w)'-uv+w,(y=4v-u v2 例1fx)=x+4cosx-sin号，求f")及f(). f(x)=(x3)+(4cosx)-(sin-)=3x2-4sinx, f-4 例2y=ex(sinx+cosx),求y', y'=(e)'(sinx+cos x)+e*(sin x+cos x)" =e*sin x+cosx)+e*(cos x-sinx)=2e*cos x. 例4y=secx,求y. y-(ccxy-(o)(Yco cos2 x =sec x tan x. cos2 x

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 f x x x ) 3x 4sin x 2 ( )=( 3 )+(4cos )−(sin  = 2 − 解  例 例 2 1 2 ( ) 3 4cos sin  f x =x + x−  求 f (x)及 ) 2 (  f   4 4 3 ) 2 ( = 2 −  f  例2 y=e x (sin x+cos x) 求y =2e xcos x 解 y=(e x )(sin x+cos x)+e x (sin x+cos x) = e x (sin x+cos x)+e x (cos x −sin x) (uv) =uv  (uv) =uv+uv  2 ( ) v u v uv v u  −  求导法则  =  f x x x ) 3x 4sin x 2 ( ) ( ) (4cos ) (sin  = 3 + −  = 2 −  f x x x ) 3x 4sin x 2 ( ) ( ) (4cos ) (sin  = 3 + −  = 2 −   例4 y=sec x 求y x x x x y x 2 cos (1) cos 1 (cos ) ) cos 1 (sec ) (  −    =  =  = x x 2 cos sin = =sec x tan x  x x x x y x 2 cos (1) cos 1 (cos ) ) cos 1 (sec ) (  −    =  =  = x x 2 cos sin = =sec x tan x 