《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）高阶导数

高等数学 §2.3高阶导数 一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 二、高阶导数的运算法则 一、高阶导数的概念 §2.3 高阶导数

一、高阶导数的概念 引例：变速直线运动s=s(t) ds 速度 V= 即v=s dt 加速度 a- 即 a=(s')1

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 一、高阶导数的概念 s  s(t) 速度 即 v  s  加速度 , d d t s v  t v a d d  ) d d ( d d t s t  即 a  (s ) 引例：变速直线运动

定义.若函数y=f(x)的导数y'=f'(x)可导，则称 f'()的导数为f的二阶导数，记作y或d),即 类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推， n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作 y",y4④，、 .,ym 或 d"y dx3, dx4 dxm

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 定义. 若函数 y  f (x) 的导数 y   f (x) 可导, 或 , d d 2 2 x y 即 y   ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y  类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , y  , , (4) y ( ) , n  y 或 , d d 3 3 x y , d d 4 4 x y n n x y d d , f (x)的导数为 f (x)的二阶导数 , 记作 y  依次类推 , 分别记作 则称

y"=0yy,f"=[f(r,号 品尝 例1证明：函数y=V2x-x2满足关系式y3y”+1=0. 2-2x 1-x 证明因为y=2r-x22分 -022 2-2x y" 2x-x2 -2x+x2-(1-x)2 (2x-x2W(2x-x2) (2x-x2)2 所以y3y'+1=0

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 证明 因为 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x x x x y         所以y 3y10 y (y)  f (x)[f (x)]  ( ) 2 2 dx dy dx d dx d y   2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) x x x x x x x x y          (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x        (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x        3 2 3 2 1 (2 ) 1 y x x     证明 例1 证明 因为 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x x x x y         (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x        3 2 3 2 1 (2 ) 1 y x x     (2 ) (2 ) 2 (1 ) 2 2 2 2 x x x x x x x        3 2 3 2 1 (2 ) 1 y x x     证明 函数 2 y  2xx 满足关系式 1 0 y 3 y   

例2.设f"(x)存在，求下列函数的二阶导数 d'y dr2 (1)y=f(e);(2)y=ef) 解：(1)少=M(eXeY=fee dx =eeexey-f"(eYeYe+(ee' dx2 f"(e")e+f(e")e* (2) d-ef"(x) d diy-Lf"(x+ef"(x) dr2

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 设 f (x) 存在，求下列函数的二阶导数 2 2 . d y dx 解:（1） dy dx 例2. （1） ( ); x y  f e （2） ( ). f x y  e ( ) x x ( )( )  f  e e x x  f  e e  2 2 d y dx [ ( )] ( )( ) x x x x  f  e  e  f  e e  ( )( ) ( ) x x x x x  f  e e  e  f  e e 2 ( ) ( ) x x x x  f  e e  f  e e （2） dy dx ( ) ( ) f x  e f  x 2 2 d y dx ( ) 2 ( ) [ ( )] ( ) f x f x  e f  x  e f  x