§2.4隐函数和参数方程求导 一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、由参数方程所确定的函数的导数 一、隐函数的导数 §2.4隐函数和参数方程求导 三、相关变化率
一、隐函数的导数 显函数与隐函数 形如y=x)的函数称为显函数 例如，y=sinx,y=lnx+ex都是显函数 由方程Fx,y)=O所确的函数称为隐函数. 例如，方程x+y3-1=0确定的隐函数为y=1-x. 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化， 隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数，然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、隐函数的导数 显函数与隐函数 形如y=f(x)的函数称为显函数 例如 y=sin x y=ln x+e x 都是显函数 由方程F(x y)=0所确的函数称为隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 例如 方程x+y 3−1=0确定的隐函数为 3 y = 1−x 隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出
山东农业大 等数 主计 苏本堂 例1求由方程e'+xy-e=0所 例2求由方程y5+2y-x-3x7=0 确定的隐函数的导数， 所确定的隐函数=孔x)在 解方程中每一项对x求导得 x=0处的导数y儿xo 解方程两边分别对x求导数得 (e)y'+(xy)'-(e)'=(0)', 5y4y'+2y-1-21x6-0, 即 er.y'+y+xy'=O, 由此得 从而 y=xete'0 y=1+21r6 5y4+2 因为当=0时，从原方程得 0,所以 yh.o
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1 求由方程e y+xy−e=0所 确定的隐函数y的导数 (e y )+(xy)−(e)=(0) 即 e y y+y+xy=0 解方程中每一项对x求导得 从而 y x e y y + =− (x+e y 0) 例2 求由方程y 5+2y−x−3x 7=0 所确定的隐函数y=f(x)在 x=0处的导数y| x=0 因为当x=0时 从原方程得 y=0 所以 5y 4 y+2y−1−21x 6=0 解方程两边分别对x求导数得 由此得 5 2 1 21 4 6 + + = y x y 2 1 | 5 2 1 21 | 0 4 6 0 = + + x= = x= y x y
例3.求椭圆 =1在点(2，弓3)处的切线方程， 169 解：椭圆方程两边对x求导 2 gyy=0 x=2 x=2 y=3 16yy=35 A 故切线方程为5= (x-2) 4 即 √3x+4y-8V3=0
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 8 x + y y 9 2 = 0 y 2 3 2 3 = = x y y x 16 9 = − 2 3 2 3 = = x y 4 3 = − 故切线方程为 3 2 3 y − 4 3 = − (x − 2) 即
山东农业大 例4求由方程x-+smy=0所确定的隐函数少 的二阶导数 解方程两边对x求导，得 1-1 y=0, 床+2cosy 于是 dy 2 dx 2-cosy 上式两边再对x求导，得 d2y -2sin y. dy dx -4sin y dx2 (2-cosy)2 (2-cosy)3
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 解 上式两边再对x求导 得 的二阶导数 例 例 4 4 ．求由方程 sin 0 2 1 x− y+ y = 所确定的隐函数 y 方程两边对x求导 得 cos 0 2 1 1− + = dx dy y dx dy 于是 dx y dy 2 cos 2 − = 2 2 3 2 (2 cos ) 4sin (2 cos ) 2sin y y y dx dy y dx d y − − = − − = 2 2 3 2 (2 cos ) 4sin (2 cos ) 2sin y y y dx dy y dx d y − − = − − = 2 2 3 2 (2 cos ) 4sin (2 cos ) 2sin y y y dx dy y dx d y − − = − − =