2.1连续函数的基本概念 第二章】 单变量函数的连续性 函数连续，就是指函数的图象是一条“"没有断开、连续”的曲线. 间断 连续 Xo 1 X “连续”：自变量变化充分小时，函数值的变化也充分小， lim,Av=lim [f(xo+Ax)-f(x)]=0 △x0 台lim f)=fx】 2
2 2.1 连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 函数连续, 就是指函数的图象是一条“没有断开、连续”的曲线. “连续”：自变量变化充分小时，函数值的变化也充分小. 0 0 0 0 lim lim 0 x x y f x x f x 0 0 lim ( ) ( ). x x f x f x y 1 1 O 1 x 间断 0 x 连续
2.1连续函数的基本概念 第二章！ 单变量函数的连续性 定义：设y=f(x)在x,的某邻域内有定义，且limf(x)=f(x,) x→X0 则称函数f(x)在Xo处连续，或X,是f(x)的连续点： ∫(x)在点x,处连续 (1)f(x)在点xo处有定义，即f(x)存在 (2)极限1imf(x)存在； x→X0 (3)lim f(x)=f(xo). x→x0 三条中有一条不成立，则称Xo是f(x)的间断点. 3
3 2.1 连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 定义: 设 在 的某邻域内有定义, 且 则称函数 f x( ) 在 处连续，或 是 的连续点; y f x ( ) 0 x 0 x 0 0 lim ( ) ( ), x x f x f x 0 x f x( ) (3) (2) 极限 存在 ; (1) 在点 处有定义, 即 存在 f x( ) 在点 x0 处连续 0 f x( ) 三条中有一条不成立，则称 是 的间断点. 0 x f x( )
2.1连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 定义：若f(x)在开区间I上的每一点都连续，则称f(x)在I上连 续，或f(x)为I上的连续函数，记为f(x)∈C(①) 定义（单侧连续）：若f(x)=f(x),则称f(x)在x处左连续： 若f(x)=f(x),则称f(x)在xo处右连续. 定义：若f(x)∈C(a,b)且在a,b分别右、左连续，则称f(x) 在[a,b]上连续，记为f(x)∈C[a,b]. 4
4 2.1 连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 定义: 若 f x( ) 在开区间 I 上的每一点都连续，则称 f x( ) 在 I 上连 续, 或 f x( ) 为 I 上的连续函数，记为 f x( )C(I). 定义(单侧连续): 若 f x f x ( ) ( ), 0 0 则称 在 处左连续； f x( ) 0 x 若 则称 在 处右连续. 0 0 f x f x ( ) ( ), f x( ) 0 x 在 上连续，记为 定义：若 且在 分别右、左连续，则称 f x( )
2.1连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 例：设函数y=f(x)在(-0，+0)内有定义，且对(-0，+0) 内任意x,y满足f(x+y)=∫(x)+f(y),证明：y=f(x) 在(-o0,+00)内连续的充要条件是该函数在x=0处连续， x,x∈Q, 跳：函数f(w)=0,xeR-0 在x=0处连续 例：Riemann函数在无理点处连续，有理点处间断. 5
5 2.1 连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 例：设函数 在 内有定义，且对 内任意 满足 证明： 在 内连续的充要条件是该函数在 处连续. 例: 函数 在 处连续. x y, 例: Riemann函数在无理点处连续，有理点处间断
2.1连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 ,x=peN,geZ coprime: p p (6)Riemanni函数R(x)= 1,x=0 、0,x∈R-Q 6
6 2.1 连续函数的基本概念 第二章 单变量函数的连续性 (6) Riemann函数 1 , , , coprime; q x p q p p 1, 0 x 0, x R x( )