1.2数列极限 第一章 极限 定义：无穷多个数排成的序列称为数列，通常记为{an}或 a1,a2, a1称为数列的首项，a,称为数列的第n项，或通项， 1.在几何上，数列{an}可看作数轴上的一个点列： X a as 06 00 有时也将{(n,an)看做平面上的一个点列. 2.数列{an}也可看作自变量为正整数n的函数，即an=f(n) 1
1 1.2 数列极限 第一章 极限 称为数列的首项， 称为数列的第 n 项， 或通项. 1 2 3 , , , , , n a a a a 1 a n a 定义：无穷多个数排成的序列称为数列，通常记为 an 或 1. 在几何上，数列 可看作数轴上的一个点列: n a a3 a2 a1 a4 a5 a6 an x 2. 数列an也可看作自变量为正整数 n 的函数， 即 . n a f n 有时也将 ( , ) 看做平面上的一个点列. n n a a7
1.2数列极限 第一章 极限 有一类数列具有特别重要的意义，它的项的值随着下标增大而趋 于一个特定的数.这种数列称为收敛数列.例如， 0.3,0.33,0.333,…，0.33…3,… 3.1,3.14,3.141,3.1415,… 另一类数列是通项不趋向于一个数，称之为发散数列.例如， 1,2,3,…,n2… 2
2 1.2 数列极限 第一章 极限 有一类数列具有特别重要的意义, 它的项的值随着下标增大而趋 于一个特定的数. 这种数列称为收敛数列. 例如, 0.3, 0.33, 0.333, , 0.33 3, n 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 另一类数列是通项不趋向于一个数，称之为发散数列. 例如, 1 1 1 1, ,1, , ,1, , 2 3 n 1, 2,3, , , n
1.2数列极限 第一章 极限 定义：{an}为给定的数列.如果存在常数a∈R有下面的性质： 对于任意给定的正数&>0，都存在N∈N,使得当n>N时 a,-a<8 则称数列{an}以a为极限，或称{an}收敛于a,记作： lima n-→oo 或 an→a(n>o) 如果这样的常数a不存在，则称数列{4n}发散 用“”表示“任意”，“门”表示“存在”，“s.t”表示“使得” 则可用更简洁的语言来描述数列的极限： lima,=a←→e>0,3N∈N,st.n>V时an-al<&. n→co 3
3 1.2 数列极限 第一章 极限 定义： an 为给定的数列. 如果存在常数 a 有下面的性质： 对于任意给定的正数 0 ，都存在 N ，使得当 n N 时 n a a 则称数列 an 以 a 为极限，或称 an 收敛于 a ，记作： lim n n a a ( ) n 或 a a n 如果这样的常数 a 不存在，则称数列 发散. n a 用“ ”表示“任意” , “ ”表示 “存在”，“s.t.”表示“使得”, . n lim n 0, ,s.t. N n N a a n a a 时 则可用更简洁的语言来描述数列的极限:
1.2数列极限 第一章 极限 lima,=a←→&>0,3N∈N,s.tn>N时an-a<&. n→∞ 说明： 1.定义中￡必须是任意给定的正数，而不是某个正数，任意性强调的是 任意地小"的方面，而不是任意大"的方面！ 2.当8给定后，再来寻求满足条件的W,因而8通常与N有关.一般来说， 当8变小时，N会变大 3.并不需要找出满足要求最小的N,只要指出W的存在性 {an}的极限不是a←→&，>0，s.t.对VN∈N,都n,>N使得 an -a>o 4
4 1.2 数列极限 第一章 极限 3. 并不需要找出满足要求最小的 ，只要指出 的存在性. 说明： 1. 定义中 必须是任意给定的正数, 而不是某个正数, 任意性强调的是 ``任意地小''的方面, 而不是``任意大''的方面. 2. 当 给定后, 再来寻求满足条件的 N , 因而 通常与 N 有关.一般来说， 当 变小时， N 会变大. N N . n lim n 0, ,s.t. N n N a a n a a 时 an 的极限不是 a 0 0 0, s.t. , 对 N n N 都 使得 0 0 . n a a
1.2数列极限 第一章 极限 lima=a←→Ve>0,3N∈N,st.n>N时an-a<&. n-→oo 数列{an}的极限为a”的几何解释 若在数轴上标出a,a2,…,an,…及a,再作a的￡邻域 (a-6,a+8) a-8 a+8 X a, 0N+1 a 0N+2 a, 则当n>W时，an均落在(a-&,a+)内. 5
5 1.2 数列极限 第一章 极限 a 2 a 2 a 1 a aN1 a N 2 a 3 a 4 a 则当 n N 时， an 均落在a a , 内. “数列 an 的极限为 a ”的几何解释 若在数轴上标出 a1 ， a2 ， …， an ，…及 a ，再作 a 的 邻域 a a , . n lim n 0, ,s.t. N n N a a n a a 时 x