函数的可积性 第五章 单变量函数的积分学 假定在区间[，b]上的函数f(x)是有界的，并设其上确界和下确界 分别是M和m,则m≤f(x)≤M,x∈[a,b], 对于区间[，b]的任意一个分割T:a=x,<x<…<x,=b,设函数 f(x)在区间[x1,x]上的上、下确界分别为 M,=sup{f:x∈[x-,x]},m=inf(x):x∈[x,x]} 并记 w=M-m;o=M,-m(1≤i≤n), 分别称为f(x)在区间[a,b]和[x1,x]上的振幅 2
2 函数的可积性 第五章 单变量函数的积分学 分别称为 在区间 假定在区间 上的函数 是有界的，并设其上确界和下确界 分别是 和 则 对于区间 的任意一个分割 设函数 在区间 上的上、下确界分别为 并记 和 上的振幅
函数的可积性 第五章 单变量函数的积分学 对于前面给定的有界函数f(x)和区间[a,b]的分割，和式 5(T=∑MAx,ST=∑mA i=l i=l 分别称之为函数f(x)的Darboux上和与Darboux下和. 显然，对于任意的点5∈[x,x],有 m≤m≤f(5)≤M≤M,i=l,…,n 因此函数f(x)的任意-个Riemann和，S(T)=∑f()△x一定介于 i= 它的Darboux.上和与Darboux下和之间，而且三种和都是有界的： m(b-a)≤S(T≤S(T)≤S(T)≤M(b-a 3
3 函数的可积性 第五章 单变量函数的积分学 对于前面给定的有界函数 和区间 的分割，和式 分别称之为函数 的Darboux上和与Darboux 下和. 显然，对于任意的点 有 因此函数 的任意一个Riemann和 它的Darboux上和与Darboux下和之间，而且三种和都是有界的： 一定介于
函数的可积性 第五章 单变量函数的积分学 Darb0uX上和与下和 5 3 2 1 A -1 0 1 23 45 6 4
4 函数的可积性 第五章 单变量函数的积分学 Darboux上和与下和
函数的可积性 第五章 单变量函数的积分学 现在考虑分割的变化对Darboux?和的影响.注意到，如果T是分割 T中增加一个分割点x形成的分割，即 T:a=<X<<xk1<x<<x,=b, T:q=x<x<.<x<xp<x<.<X=b. 则①S(T-S(T)=M(K-x)-M1(xe-x)-M2(xe-xx) =(M-Mx-x-1)+(M-M2x-e)≥0. ②S(T)-S(T≤M(&-x-)-1,(xx-x-i)-m(x-xe) =(M:-m.)(xe-x1)+(M:-m)(x-x)swT 即有：0≤5(T)-S(T)≤wW7 同理可得，插入一个节点时，0≤S(T)-ST)≤WT 5
5 函数的可积性 第五章 单变量函数的积分学 现在考虑分割的变化对Darboux和的影响. 注意到，如果 是分割 中增加一个分割点 形成的分割, 即 则 ① ② 即有: 同理可得，插入一个节点时
函数的可积性 第五章 单变量函数的积分学 在分割T的基础上增加一个节点得到分割T',两者的Darbouxa和 满足： 0≤5(T-S(T)≤wT: 0≤S(T)-S(T)≤wWT: 更一般地，设T新增1个节点，加密到T,则 0≤S(T-S(T)≤hwT 0≤S(T)-S(T)≤WT. 加密分割，上和不增，下和不减.Danx和对分割具有“单调性”， 6
6 函数的可积性 第五章 单变量函数的积分学 在分割 的基础上增加一个节点得到分割 两者的Darboux和 满足: 更一般地，设 新增 个节点，加密到 则 加密分割，上和不增，下和不减. Darboux和对分割具有“单调性