定积分的应用 第五章 单变量函数的积分学 1、什么问题可以用定积分解决？ ① 所求的未知量Q具有整体性，它依赖于某个区间[，b]上的变量 x,并且Q(x)=Q([a,x])； ② 未知量Q在区间上具有可加性：对Va≤a<B<y≤b有 Q([,B])+Q([B,y])=Q([o,y]) 即当区间[a,b]被分成几个不重迭的区间之并时，总量Q([a,b]) 等于相应于各子区间的局部量的和. 未知量Q在区间[☑，b]上是可微的：局部量有线性主部. 2
2 定积分的应用 第五章 单变量函数的积分学 即当区间 被分成几个不重迭的区间之并时，总量 1、什么问题可以用定积分解决 ? ① 所求的未知量 具有整体性，它依赖于某个区间 上的变量 并且 ② 未知量 在区间上具有可加性 : 对 有 等于相应于各子区间的局部量的和. ③ 未知量 在区间 上是可微的: 局部量有线性主部
定积分的应用 第五章 单变量函数的积分学 在具体求这种未知量Q时，可以分两个步骤 1.在区间[a,上任取-个长度为dx的小区间[x,x+dx],求出与 此小区间相关的局部量△Q=Q(x+dx)-Q(x)的一个近似值 f(x)dx,其中f(x)是某个函数，使得 △Q=f(x)dx+o(dx), 即f(x)dx是函数Q(x)的微分，也称为微元. 2.将所得的微元在区间[☑，b]上无限累加"---积分，则 =∫fax)dx 微元法的关键在于确定微元.因为量Q是待求的，一般而言，求出 Q(x)的微分，即Q(x)的线性主要部分，是一件相当困难的事
3 定积分的应用 第五章 单变量函数的积分学 即 是函数 的微分，也称为微元. 在具体求这种未知量 时，可以分两个步骤 : 1. 在区间 上任取一个长度为 的小区间 求出与 此小区间相关的局部量 的一个近似值 其中 是某个函数，使得 微元法的关键在于确定微元. 因为量 是待求的, 一般而言,求出 的微分, 即 的线性主要部分, 是一件相当困难的事. 2. 将所得的微元在区间 上``无限累加''------积分, 则
定积分的应用 第五章 单变量函数的积分学 曲线的孤长 设L是平面上一条连续曲线，起点为A终点为B.在曲线上从A 到B取一些分点得到一个分割： T:A=Mo,M,…,Mn,Mn=B. 用直线段连接相邻的分点得到曲线的一条内折线： Mn-i B=Mn A=Mo 若当分割的宽度Tl：=max M_M,趋于零时，折线的长度极限存在， l≤i≤n 就称曲线L是可求长的，并且这个极限就定义为L的长度
4 定积分的应用 第五章 单变量函数的积分学 设 是平面上一条连续曲线，起点为 A 终点为 B. 在曲线上从 A 到 B 取一些分点得到一个分割: 用直线段连接相邻的分点得到曲线的一条内折线. y M1 M2 Mi Mn-1 B=Mn A=M0 O x 曲线的弧长 若当分割的宽度 趋于零时, 折线的长度极限存在, 就称曲线 是可求长的, 并且这个极限就定义为 的长度
定积分的应用 第五章 单变量函数的积分学 设函数f(x)的图像为曲线L.设dx>0,在L上任取两点M和M', 其横坐标分别为x与x+dx.则这两点的距离为 MM'|=V(d)2+(f(x+dx)-f(x)2 =/(dx)2+(f(x)dx+o(dx))2 =V1+(f'(x)2dr+o(dr). 我们由此得到弧长的微元（即弧长的微分） ds=+f(x))dx. 5
5 定积分的应用 第五章 单变量函数的积分学 设函数 的图像为曲线 . 设 在 上任取两点 和 其横坐标分别为 与 则这两点的距离为 我们由此得到弧长的微元 (即弧长的微分)
定积分的应用 第五章 单变量函数的积分学 弧长微元： ds=1+(f(x))dx. 将ds在区间[a,b]上积分，即得弧长公式： s=∫V1+f()d. 上面的弧长微元公式也可写成 (ds)2=(dx)2+(dy)2. y= f(x) ds 也就是说： 弧长微元是微分三角形的斜边的长。 xx+dx b 6
6 定积分的应用 第五章 单变量函数的积分学 将 在区间 上积分，即得弧长公式 : 也就是说: 上面的弧长微元公式也可写成 弧长微元: 弧长微元是微分三角形的斜边的长. y O x