1.1实数 第一章 极限 1.自然数N={01,2,…-Peano公理体系 2.整数Z={0,±1，±2，…} 3有数心-yeg:0 1.有域结构 2.有序结构 Q的性质 3.可数 4.稠密 5.Archimedes性质 7
1 1.1 实 数 第一章 极限 1. 自然数 ----Peano公理体系 2. 整数 3. 有理数 的性质 1. 有域结构 2. 有序结构 3. 可数. 4. 稠密 5. Archimedes性质
1.1实数 第一章 极限 有理数的缺点： 1.万物皆数？ 2.不能铺满数轴，空隙数不胜数 有理数不是完备(complete)的 X={xEQ:x>0andx<2,Y={yEQ:y>0andy2>2. X≤Y但不存在q∈Q 使得X≤q≤Y. 为什么完备性很重要？ g=@,但eee0, n-yoo 不完备意味着，有理数域上的Cauchy/序列的极限不一定是有理数 微积分的基础是极限理论，极限理论的基础是实数理论
2 1.1 实 数 第一章 极限 有理数的缺点： 有理数不是完备(complete)的 但不存在 使得 不完备意味着，有理数域上的Cauchy序列的极限不一定是有理数 微积分的基础是极限理论，极限理论的基础是实数理论. 为什么完备性很重要？ 1. 万物皆数? 2.不能铺满数轴，空隙数不胜数
1.1实数 第一章 极限 实数的公理刻画 定义：称一个带有两个二元运算+，·和序关系<的集合为一个 实数模型，如果上述运算和序关系满足下列一组公理： 1域公理 2.全序公理 3.完备公理 定理：任意两个满足实数公理的实数模型都是同构的. 3
3 1.1 实 数 第一章 极限 实数的公理刻画 定义：称一个带有两个二元运算 +, ⋅ 和 序关系 <的集合为一个 1.域公理 2.全序公理 3.完备公理 定理：任意两个满足实数公理的实数模型都是同构的． 实数模型，如果上述运算和序关系满足下列一组公理：
1.1实数 第一章 极限 十进制小数表示 实数的构造方法 Dedekind分割 Cantor有理基本序列 难点：如何只利用Q和集合的知识定义出满足需求的？ 要求：R上的元素退化为Q中元素时，要符合Q上的运算与结构. 4
4 1.1 实 数 第一章 极限 实数的构造方法 十进制小数表示 Dedekind分割 Cantor有理基本序列 难点：如何只利用 和集合的知识定义出满足需求的 ？ 要求： 上的元素退化为 中元素时，要符合 上的运算与结构
1.1实数 第一章 极限 实数的十进制小数表示 定义：实数集R={±4,44a,…a∈N,0≤a≤9（≥）} 且规定R中 规范表示 (1)+0.0=-0.0 (2)±44…a9=±4.a…(a,+00(an<9) 有理数： 循环小数 无理数：非循环小数 定理：(1)R为有序集， 怎么定义大小关系？是否满足全序的公理要求？ (2)R稠密. (任意两不等实数之间存在其它的实数)
5 1.1 实 数 第一章 极限 实数的十进制小数表示 定义：实数集 定理：(1) 为有序集. (2) 稠密. 且规定 中 怎么定义大小关系？是否满足全序的公理要求？ (任意两不等实数之间存在其它的实数.) 有理数: 循环小数 无理数: 非循环小数 规范表示